Präsenzblatt 7

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Aufgabe PA 28

 

Bestimmen Sie von folgenden komplexen Zahlen \( z \) jeweils die komplex konjugierte Zahl \( \overline z \) sowie den Betrag \( |z|. \) Überführen Sie dazu die Zahlen in die Form \( x+iy. \)

 

(i)	\( z=\sqrt{3}+i \)
(ii)	\( z=7 \)
(iii)	\( z=(1+i)(1-i) \)
(iv)	\( \displaystyle z=\frac{1}{i} \)
(v)	\( \displaystyle z=\frac{1}{1+i} \)
(vi)	\( \displaystyle z=\frac{1+2i}{3-i} \)

 

Aufgabe PA 29

 

Ausgehend von \( i^2=-1, \) \( i^3=i^2\cdot i=(-1)\cdot i=-i \) usw. sind zu ermitteln

 

(i)	\( i^4, \) \( i^5, \) \( i^6, \) \( i^7, \) \( i^8 \)

 

Welche Regelmäßigkeiten erkennen Sie für die Potenzen \( i^n, \) \( n=1,2,3,\ldots? \) Vereinfachen Sie damit die folgenden Ausdrücke:

 

(ii)	\( z_1:=2+5i+8i^2+9i^3+6i^7 \)
(iii)	\( z_2:=i^{10}+i^{14}-i^{18}+(-i)^{23} \)

 

Ermitteln Sie schließlich

 

(iv)	\( \displaystyle z:=\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^k \) mit \( k\in\mathbb N \)

 

Aufgabe PA 30

 

Durch Anwenden der Lösungsformel für quadratische Gleichungen bestimme man beide komplexwertigen Lösungen folgender Gleichungen.

 

(i)	\( z(10-z)=40 \)
(ii)	\( z^2-5z+17=0 \)

 

Aufgabe PA 31

 

Beweisen Sie \[ \sum_{k=1}^{2^n-1}\frac{1}{k^2}\le 2\quad\mbox{für alle}\ n\in\mathbb N, \] und schließen Sie damit auf die Konvergenz \( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}<\infty\,. \)

 

Aufgabe PA 32

 

Beweisen Sie, dass die folgenden Reihen konvergieren.

 

(i)	\( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2+1} \)
(ii)	\( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{k+1}{k^3+2k^2+k+1} \)
(iii)	\( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{3k^4+k^3+7k^2-k-1} \)
(iv)	\( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^\alpha} \) mit \( \alpha\in\mathbb N \) und \( \alpha\ge 2 \)

 

Aufgabe PA 33

 

Verifizieren Sie mit Hilfe des Minorantenkriteriums, dass die folgenden Reihen divergieren. Sie d\"urfen dabei die in der Vorlesung bewiesene Divergenz der harmonischen Reihe verwenden.

 

(i)	\( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{3k-1} \)
(ii)	\( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{3k}{k+2} \)
(iii)	\( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{k+1}{k(k+1)} \)
(iv)	\( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{k(k+1)}} \)
(v)	\( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\left(-k+\sqrt{k^2+1}\right) \)