Präsenzblatt 8

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Aufgabe PA 34

 

Untersuchen Sie mittels des Wurzelkriteriums die folgenden Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz.

 

(i)	\( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{2^k}{3^{2k}} \)
(ii)	\( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\left(1-\frac{1}{k}\right)^{k^2} \)
(iii)	\( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{(5k^2+2)^k}{(7k)^{2k}} \)
(iv)	\( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{3^n+5^{n+3}}{7\cdot 13^n} \)

 

Aufgabe PA 35

 

Untersuchen Sie mittels des Quotientenkriteriums die folgenden Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz.

 

(i)	\( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{(2k+1)!}{(3k)!} \)
(ii)	\( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{k}{2^k} \)
(iii)	\( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{\sqrt{1+\frac{1}{k}}}{k} \)
(iv)	\( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{2^n}{(n+1)!} \)
(v)	\( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{3^n(n+1)!(n+2)!}{(2n)!} \)
(vi)	\( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{n!}{8^n} \)

 

Aufgabe PA 36

 

Beweisen Sie, dass folgende Reihe absolut konvergent ist \( \displaystyle\sum_{k,\ell=1}^\infty\frac{1}{k^4+\ell^4} \)

 

Aufgabe PA 37

 

Berechnen Sie das Cauchyprodukt der folgenden absolut konvergenten Reihen \[ \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2^k}\quad\mbox{und}\quad\sum_{\ell=0}^\infty\frac{1}{2^\ell}\,. \]

 

Aufgabe PA 38

 

Betrachten Sie die Reihe \[ S:=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}}\,. \]

 

(i)	Warum konvergiert \( S? \)
(ii)	Beweisen Sie, dass \( S \) nicht absolut konvergiert.
(iii)	Berechnen Sie das Cauchyprodukt der Reihe mit sich selbst, und zeigen Sie, dass dieses Produkt nicht konvergiert.

 

Aufgabe PA 39

 

Bestimmen Sie die Konvergenzradien folgender reellwertigen Potenzreihen.

 

(i)	\( \displaystyle\sum_{k=0}^\infty x^k\,,\quad x\in\mathbb R \)
(ii)	\( \displaystyle\sum_{k=1}^\infty x^{2k}\,,\quad x\in\mathbb R \)

 

Aufgabe PA 40

 

In welchen Punkten \( x\in\mathbb R \) konvergiert bzw. divergiert die Potenzreihe \[ P(x):=\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}{k}\,,\quad x\in\mathbb R? \]