Präsenzblatt 11
Aufgabe PA 50
Betrachten Sie die Funktion \[ f(x) :=\left\{ \begin{array}{cl} x & \mbox{für}\ 0\le x\lt 1 \\[0.6ex] 0 & \mbox{für}\ x=1 \end{array} \right. \quad\mbox{mit}\quad f(0)=f(1)=0. \] Ist der Satz von Rolle anwendbar? Begründen Sie.
Aufgabe PA 51
Betrachten Sie die Funktion \[ f(x)=x+e^x\,,\quad x\in\mathbb R\,. \]
| (i) | Beweisen Sie, dass \( f(x) \) in \( \mathbb R \) streng monoton wachsend ist und daher eine Umkehrfunktion \( g(y) \) existiert. |
| (ii) | Bestimmen Sie \( g(1), \) \( g'(1) \) und \( g''(1) \) mit der zweiten Ableitung \( g''(x)=(g'(x))'. \) |
Aufgabe PA 52
| (i) | Unter Verwendung von \( (e^x)'=e^x \) ist zu beweisen |
\[ (\ln x)'=\frac{1}{x}\,,\quad x\in(0,\infty). \]
| (ii) | Zeigen Sie damit, dass für differenzierbare Funktionen \( f\colon(0,\infty)\to\mathbb R \) gilt |
\[ \frac{d}{dx}\,\ln f(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}\,. \]
| (iii) | Berechnen Sie unter Verwendung der Regel aus (ii) die erste Ableitung von |
\[ f(x)=(1+x)(1+e^{x^2})\,. \]
Aufgabe PA 53
Berechnen Sie die ersten Ableitungen folgender reellwertiger Funktionen.
| (i) | \( f(x)=2^x \) |
| (ii) | \( f(x)=4^{x^2} \) |
| (iii) | \( f(x)=x^{2x} \) |