Präsenzblatt 12
Aufgabe PA 54
Die Funktionen \( f,g\colon[a,b]\to\mathbb R \) seien stetig in \( [a,b]\subset\mathbb R \) und differenzierbar in \( (a,b)\subset\mathbb R, \) wobei gelte \[ g'(x)\not=0\quad\mbox{für alle}\ x\in(a,b). \] Ferner existiere ein \( x_0\in[a,b] \) mit den Eigenschaften
| (i) | \( f(x_0)=g(x_0)=0 \) |
| (ii) | \( g(x)\not=0 \) für alle \( x\in(a,b)\setminus\{x_0\} \) |
| (iii) | \( \displaystyle\lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A \) |
mit einem \( A\in\mathbb R. \) Beweisen Sie, dass dann auch gilt \[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=A. \]
Aufgabe PA 55
Unter Anwendung der Regel von l'Hospital sind folgende Grenzwerte zu ermitteln:
| (i) | \( \displaystyle\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3} \) |
| (ii) | \( \displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{6x^5+x^2-7}{10-2x-8x^3} \) |
Aufgabe PA 56
Verifizieren Sie die folgende Taylorentwicklung \[ e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3!}+\ldots+\frac{x^n}{n!}+R_{n+1}(x,0) \] mit dem Taylorpolynom \( n \)-ter Ordnung \[ T_n(x,x_0)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\,(x-x_0)^k \] und dem Lagrangeschen Restglied \( (n+1) \)-ter Ordnung \[ R_{n+1}(x,x_0):=\frac{f^{(n+1)}(x+\vartheta(x_0-x))}{(n+1)!}\,(x-x_0)^{n+1} \] für \( f(x)=e^x \) und für den Entwicklungspunkt \( x_0=0. \) Gilt die auch Taylorreihenentwicklung \[ e^x=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}\,? \] Begründen Sie durch geeignetes Abschätzen des Restgliedes.
Aufgabe PA 57
Die aus der Vorlesung bekannten Potenzreihen \[ \cos x=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k)!}\,x^{2k}\,,\quad \sin x=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\,x^{2k+1}\,,\quad x\in\mathbb R, \] für den Kosinus und den Sinus konvergieren nach dem Weierstraßschen Majorantentest absolut in \( \mathbb R. \)
| (i) | Verifizieren Sie ohne weitere Begründung die Näherungsformeln |
\[ \cos x\approx 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}\,,\quad \sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\,. \]
| (ii) | Durch Differenzieren der Reihen für \( \cos x \) und \( \sin x \) sind zu verifizieren |
\[ \frac{d}{dx}\,\cos x=-\sin x,\quad \frac{d}{dx}\,\sin x=\cos x,\quad x\in\mathbb R. \]
| (iii) | Stellen Sie jeweils eine Formel auf für die \( k \)-ten Ableitungen von \( \cos x \) und \( \sin x. \) |
Aufgabe PA 58
Der von der Zeit \( x \) abhängige Auslenkungswinkel \( f(x) \) eines mathematischen Pendels genügt folgender Gleichung \[ f''(x)+\frac{g}{\ell}\,\sin f(x)=0 \] mit der Länge \( \ell>0 \) des Pendels und der Schwerebeschleunigung \( g>0. \)
| (i) | Durch Anwenden der Taylorschen Formel ist der nichtlineare Term \( \sin f(x) \) für hinreichend kleine Winkel \( f(x) \) durch eine Näherungspolynom erster Ordnung zu ersetzen. Verifizieren Sie also die Näherungsgleichung |
\[ f''(x)+\frac{g}{\ell}\,f(x)=0. \]
| (ii) | Bestätigen Sie durch Differenzieren, dass |
\[ f(x):=f_0\sin\left(\sqrt{\frac{g}{\ell}}\,x+x_0\right) \] mit Konstanten \( f_0 \) und \( x_0 \) die Näherungsgleichung löst.