Abschnitt 1.2: Mengenlehre
Leitfaden für die 1. Präsenzübung
| \( \circ \) | Darstellungen der leeren Menge |
| \( \circ \) | Übung zu den Mengenoperationen |
| \( \circ \) | Kartesisches Produkt von Mengen |
| \( \circ \) | Assoziativität von Vereinigung und Durchschnitt |
Leitfaden für das 1. Tutorium
| \( \circ \) | Enthalten oder sogar gleich? |
| \( \circ \) | Abbilden von Teilmengen |
| \( \circ \) | Injektive und surjektive Abbildungen |
| \( \circ \) | Abbildung und Umkehrabbildung |
Darstellung von Mengen
Aufgabe (Mengenlehre - Elemente von Mengen)
Bestimmen Sie die Elemente der folgenden Mengen.
| (i) | \( M=\{(x,y)\in\mathbb N\,:\,1\le x\le 17\ \text{und}\ x\ \mbox{ist Primzahl}\} \) |
| (ii) | \( M=\{(x,y)\in\mathbb N\times\mathbb N\,:\,x-y\ \text{ist ohne Rest durch}\ 2\ \text{teilbar}\} \) |
| (iii) | \( M=\{(x,y)\in\mathbb Z\times\mathbb Z\,:\,x-y\ \text{ist ohne Rest durch}\ 3\ \text{teilbar}\} \) |
Hierin bedeuten \( \mathbb N=\{1,2,3,\ldots\} \) die Menge der natürlichen und \( \mathbb Z=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\} \) die Menge der ganzen Zahlen.
Aufgabe (Mengenlehre - Charakterisierende Eigenschaften von Mengen)
Finden Sie für folgende Mengen jeweils eine charakterisierende Eigenschaft.
| (i) | \( M=\{0,2,4,6,8,\ldots\} \) |
| (ii) | \( M=\{2,4,8,16,32,64,\ldots\} \) |
| (iii) | \( M=\{2,3,5,7,11,13,17,19,\ldots\} \) |
| (iv) | \( M=\{0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,\ldots\} \) |
Aufgabe (Mengenlehre - Darstellungen der leeren Menge)
Bestimmen Sie die Elemente folgender Mengen. Welche der beiden Mengen ist leer?
| (i) | \( M=\{m\in\mathbb N\,:\,m+1=0\} \) |
| (ii) | \( M=\{m\in\mathbb Z\,:\,m+1=0\} \) |
Mengenrelationen und Mengenoperationen
Aufgabe (Mengenlehre - Übung zu den Mengenoperationen)
Sei die Menge \( \Omega=\{0,1,2,3,4,5,6\} \) gegeben zusammen mit den Teilmengen \[ A=\{1,2,3\}\,,\quad B=\{2,3,4\}\,. \] Bestimmen Sie \[ \Omega\setminus A,\quad \Omega\setminus B,\quad A\cup B,\quad A\cap B,\quad A\setminus B,\quad B\setminus A. \]
Aufgabe (Mengenlehre - Kartesisches Produkt von Mengen)
Bestimmen Sie das kartesische Produkt \( M\times N \) folgender Mengen \( M \) und \( N. \)
| (i) | \( M=\{1,2,3,4\} \) und \( N=\{a,b\} \) |
| (ii) | \( M=\{a,b,c\} \) und \( N=\{x,y\} \) |
| (iii) | \( M=\{1,2,3,4,\ldots\} \) und \( N=\{1,2,3,4,\ldots\} \) |
| (iv) | \( M=\{x\in\mathbb N\,:\,2\le x\le 3\} \) und \( N=\{x\in\mathbb N\,:\,6\le x\lt 9\} \) |
Rechenregeln für Mengen
Aufgabe (Mengenlehre - Idempotenz von Vereinigung und Durchschnitt)
Es sei \( A \) eine Menge. Beweisen Sie:
| (i) | \( A\cup A=A \) |
| (ii) | \( A\cap A=A \) |
Aufgabe (Mengenlehre - Kommutativität von Vereinigung und Durchschnitt)
Es seien \( A \) und \( B \) zwei Mengen. Beweisen Sie:
| (i) | \( A\cup B=B\cup A \) |
| (ii) | \( A\cap B=B\cap A \) |
Aufgabe (Mengenlehre - Assoziativität von Vereinigung und Durchschnitt)
Es seien \( A, \) \( B \) und \( C \) drei Mengen. Beweisen Sie:
| (i) | \( (A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C) \) |
| (ii) | \( (A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C) \) |
Aufgabe (Mengenlehre - Durchschnitt und Differenz mit der leeren Menge)
Sei \( A \) eine Menge. Beweisen Sie:
| (i) | \( A\cap\emptyset=\emptyset \) |
| (ii) | \( A\setminus\emptyset=A \) |
Aufgabe (Mengenlehre - Rechenregeln für das Komplement)
Es sei \( A\subseteq X \) eine Teilmenge der Obermenge \( X, \) und \( A^c \) bezeichne das Komplement von \( A \) bez. \( X. \) Beweisen Sie:
| (i) | \( A\cap A^c=\emptyset \) |
| (ii) | \( A\cup A^c=X \) |
| (iii) | \( (A^c)^c=A \) |
Aufgabe (Mengenlehre - Distributionsgesetz der Mengenlehre)
Es seien \( A, \) \( B \) und \( C \) Mengen. Beweisen Sie \[ A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C). \]
Aufgabe (Mengenlehre - Verschmelzung von Durchschnitt und Vereinigung)
Es seien \( A \) und \( B \) zwei Mengen. Beweisen Sie:
| (i) | \( A\cup(A\cap B)=A \) |
| (ii) | \( A\cap(A\cup B)=A \) |
Aufgabe (Mengenlehre - de Morgansche Regeln der Mengenlehre)
Es seien \( A \) und \( B \) zwei Teilmengen einer Obermenge \( X. \) Beweisen Sie:
| (i) | \( X\setminus(A\cup B)=(X\setminus A)\cap(X\setminus B) \) |
| (ii) | \( X\setminus(A\cap B)=(X\setminus A)\cup(X\setminus B) \) |
Aufgabe (Mengenlehre - Weitere Distributivgesetze)
Es seien \( A, \) \( B \) und \( C \) Mengen. Beweisen Sie:
| (i) | \( (A\cap B)\setminus C=(A\setminus C)\cap(B\setminus C) \) |
| (ii) | \( (A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup(B\setminus C) \) |
| (iii) | \( A\setminus(B\cap C)=(A\setminus B)\cup(A\setminus C) \) |
| (iv) | \( A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C) \) |
Aufgabe (Mengenlehre - Differenzen von drei Mengen)
Es seien \( A, \) \( B \) und \( C \) Mengen. Beweisen Sie:
| (i) | \( (A\setminus B)\setminus C=A\setminus(B\cup C) \) |
| (ii) | \( A\setminus(B\setminus C)=(A\setminus B)\cup(A\cap C) \) |
Aufgabe (Mengenlehre - Gemischte Operationen)
Es seien \( A \) und \( B \) zwei Mengen. Beweisen Sie:
| (i) | \( A=(A\setminus B)\cup(A\cap B) \) |
| (ii) | \( \emptyset=(A\setminus B)\cap(A\cap B) \) |
Folgern Sie:
| (iii) | \( A\setminus B\subseteq B \) |
Wann gilt in (iii) Mengengleichheit?
Aufgabe (Mengenlehre - Komplementbildung I)
Es seien \( A, \) \( B \) Teilmengen einer Obermenge \( X \) mit Komplementen bez. \( A^c, \) \( B^c \) bez. \( X. \) Beweisen Sie:
| (i) | \( (A\cup B)^c=A^c\cap B^c \) |
| (ii) | \( (A\cap B)^c=A^c\cup B^c \) |
Aufgabe (Mengenlehre - Komplementbildung II)
Es seien \( A, \) \( B \) Teilmengen einer Obermenge \( X \) mit Komplementen bez. \( A^c, \) \( B^c \) bez. \( X. \) Beweisen Sie:
| (i) | \( A\setminus B=A\cap B^c \) |
| (ii) | \( (A\setminus B)^c=A^c\cup B \) |
Aufgabe (Mengenlehre - Enthalten oder sogar gleich?)
Es seien \( A, \) \( B, \) \( C \) und \( D \) Mengen. Welche der folgenden Aussagen ist richtig, welche ist falsch? Beweisen Sie, oder geben Sie ein Gegenbeispiel.
| (i) | \( (A\cap C)\cup(B\cap D)\subseteq(A\cup B)\cap(C\cup D) \) |
| (ii) | \( (A\cap C)\cup(B\cap D)=(A\cup B)\cap(C\cup D) \) |
Aufgabe (Mengenlehre - Symmetrische Differenz)
Die symmetrische Differenz zweier Mengen \( A \) und \( B \) ist definiert als \[ A\triangle B:=(A\setminus B)\cup(B\setminus A). \] Beweisen Sie:
| (i) | \( A\triangle B=B\triangle A \) |
| (ii) | \( (A\triangle B)\triangle C=A\triangle(B\triangle C) \) |
| (iii) | \( A\cup(B\triangle C)=(A\cup B)\triangle(A\cup C) \) |
| (iv) | \( A\cap(B\triangle C)=(A\cap B)\triangle(A\cap C) \) |
Abbildungen zwischen Mengen
Aufgabe (Mengenlehre - Abbilden von Teilmengen)
Es sei \( f\colon A\to B \) eine Abbildung zwischen den Mengen \( A \) und \( B. \) Weiter seien \( M,N\subseteq A \) zwei Teilmengen von \( A \) mit der Eigenschaft \( M\subseteq N. \) Beweisen Sie, dass dann gilt \[ f(M)\subseteq f(N). \]
Aufgabe (Mengenlehre - Injektive und surjektive Abbildungen)
Finden Sie jeweils ein Beispiel von zwei Mengen \( A, \) \( B \) und einer Abbildung \( f\colon A\to B, \) so dass:
| (i) | \( f \) ist weder injektiv noch surjektiv |
| (ii) | \( f \) ist injektiv, aber nicht surjektiv |
| (iii) | \( f \) ist surjektiv, aber nicht injektiv |
| (iv) | \( f \) ist injektiv als auch surjektiv |
Aufgabe (Mengenlehre - Assoziativität der Verkettung)
Es seien \[ f\colon A\longrightarrow B,\quad g\colon B\longrightarrow C,\quad h\colon C\longrightarrow D \] drei Abbildungen zwischen den Mengen \( A, \) \( B, \) \( C \) und \( D. \) Beweisen Sie, dass dann gilt \[ h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f, \] wobei wir als die Verkettung \( \circ \) von Abbildungen vereinbaren \[ \begin{array}{l} g\circ f\colon A\longrightarrow C\quad\text{vermöge} \\[0.8ex] (g\circ f)(a):=g(f(a))\quad\text{för}\ a\in A\quad\mbox{usw.} \end{array} \]
Aufgabe (Mengenlehre - Nichtkommutativität der Verkettung)
Zeigen Sie durch Angabe eines Gegenbeispiels, dass die Verkettung zweier Abbildungen \( f\colon A\to A \) und \( g\colon A\to A \) auf einer Menge \( A \) im Allgemeinen nicht kommutativ ist, d.h. es gilt nicht \[ (f\circ g)(a)=(g\circ f)(a)\quad\text{für alle}\ a\in A. \] Geben Sie auch ein Beispiel für die Gültigkeit dieser Beziehung.
Aufgabe (Mengenlehre - Abbildung und Umkehrabbildung)
Es seien \( A \) und \( B \) zwei nichtleere Mengen und \( f\colon A\to B \) sowie \( g\colon B\to A \) zwei Abbildungen mit der Eigenschaft \[ g\circ f(a)=a\quad\text{für alle}\ a\in A. \] Beweisen Sie:
| (i) | \( f \) ist injektiv |
| (ii) | \( g \) ist surjektiv |
Aufgabe (Mengenlehre - Eigenschaften der Verkettung von Abbildungen)
Es seien \( f\colon A\to B \) und \( g\colon B\to C \) zwei Abbildungen zwischen den Mengen \( A, \) \( B \) und \( C. \) Beweisen Sie:
| (i) | Ist \( g\circ f \) bijektiv, so sind \( f \) injektiv und \( g \) surjektiv. |
| (ii) | Sind \( f \) injektiv und \( g \) surjektiv, so ist \( g\circ f \) nicht notwendig bijektiv. |
| (iii) | Sind \( f \) und \( g \) injektiv, so ist \( g\circ f \) injektiv. |
| (iv) | Sind \( f \) und \( g \) surjektiv, so ist \( g\circ f \) surjektiv. |
| (v) | Ist \( g\circ f \) surjektiv, so ist \( g \) surjektiv. |
| (vi) | Sind \( f \) und \( g \) bijektiv, so ist \( g\circ f \) bijektiv. |
Aufgabe (Mengenlehre - Vereinigung, Durchschnitt und Differenz I)
Es sei \( f\colon X\to Y \) eine Abbildung zwischen den Mengen \( X \) und \( Y. \) Beweisen Sie, dass für alle Teilmengen \( A,B\subseteq X \) mit \( A\cap B\not=\emptyset \) richtig sind:
| (i) | \( f(A\cup B)=f(A)\cup f(B) \) |
| (ii) | \( f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B) \) |
| (iii) | \( f(A\cap B)=f(A)\cap f(B), \) falls \( f \) injektiv |
| (iv) | \( f(A\setminus B)\subseteq f(A) \) |
Aufgabe (Mengenlehre - Injektivität und Surjektivität auf Komplementen)
Es sei \( f\colon X\to X \) eine Abbildung auf einer Obermenge \( X, \) und es sei \( A\subseteq X \) eine Teilmenge mit dem Komplement \( A^c\subseteq X \) bez. \( X. \) Beweisen Sie:
| (i) | Ist \( f \) injektiv, so gilt \( f(A^c)\subseteq f(A)^c. \) |
| (ii) | Ist \( f \) surjektiv, so gilt \( f(A)^c\subseteq f(A^c). \) |
Aufgabe (Mengenlehre - Verkettung einer Abbildung und ihrer Inversen)
Es sei \( f\colon X\to Y \) eine Abbildung, und es seien \( A\subseteq X \) und \( B\subseteq Y \) zwei Teilmengen. Beweisen Sie:
| (i) | \( A\subseteq f^{-1}(f(A)) \) |
| (ii) | \( f(f^{-1}(B))\subseteq B \) |
Aufgabe (Mengenlehre - Vereinigung, Durchschnitt und Differenz II)
Es sei \( f\colon A\to B \) eine Abbildung zwischen den nichtleeren Mengen \( A \) und \( B. \) Seien ferner \( \Omega,\Theta\subset B \) zwei echte Teilmengen. Beweisen Sie:
| (i) | \( f^{-1}(\Omega\cup\Theta)=f^{-1}(\Omega)\cup f^{-1}(\Theta) \) |
| (ii) | \( f^{-1}(\Omega\cap\Theta)=f^{-1}(\Omega)\cap f^{-1}(\Theta) \) |
| (iii) | \( f^{-1}(\Omega\setminus\Theta)=f^{-1}(\Omega)\setminus f^{-1}(\Theta) \) |
Aufgabe (Mengenlehre - Streng monotone Funktionen sind injektiv)
Die reellwertige Funktion \( f\colon\mathbb R\to\mathbb R \) sei streng monoton, d.h. es gilt \[ \begin{array}{ll} \text{entweder} &\quad f(x_1)\lt f(x_2)\quad\text{für alle}\ x_1,x_2\in\mathbb R\ \text{mit}\ x_1\lt x_2 \\[0.8ex] \text{oder} &\quad f(x_1)\gt f(x_2)\quad\text{für alle}\ x_1,x_2\in\mathbb R\ \text{mit}\ x_1\lt x_2\,. \end{array} \] Beweisen Sie, dass \( f \) injektiv ist.