Abschnitt 2.1: Die natürlichen Zahlen
Leitfaden für die 2. Präsenzübung
| \( \circ \) | Linearkombination von Vielfachen |
| \( \circ \) | Die Gaußsche Summenformel |
| \( \circ \) | Summe der ersten Quadratzahlen |
| \( \circ \) | Durch \( 3 \) teilbare Potenzausdrücke |
Leitfaden für das 2. Tutorium
| \( \circ \) | Ein Spezialfall der Bernoullischen Ungleichung |
| \( \circ \) | Eine nützliche Ungleichung |
| \( \circ \) | Noch eine nützliche Ungleichung |
Addition und Multiplikation
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Anwenden der algebraischen Axiome I)
Beweisen Sie unter Verwendung der algebraischen Axiome \[ m\cdot 1=m\quad\text{für alle}\ m\in\mathbb N. \]
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Anwenden der algebraischen Axiome II)
Beweisen Sie unter Verwendung der algebraischen Axiome \[ (m+n)\cdot\ell=m\cdot\ell+n\cdot\ell\quad\text{für alle}\ \ell,m,n\in\mathbb N. \]
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Linearkombination von Vielfachen)
Es seien \( a,b\in\mathbb N \) Vielfache von \( n\in\mathbb N, \) d.h. es existierten \( r,s\in\mathbb N \) mit \[ a=rn,\quad b=sn. \] Beweisen Sie, dass dann auch \( xa+yb \) ein Vielfaches von \( n \) ist für beliebige \( x,y\in\mathbb N. \)
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Summe dreier aufeinander folgender Zahlen)
Beweisen Sie, dass die Summe von drei aufeinander folgenden natürlichen Zahlen ein Vielfaches von \( 3 \) ist.
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Summe vier aufeinander folgender Zahlen)
Beweisen Sie, dass die Summe von vier aufeinander folgenden natürlichen Zahlen eine gerade Zahl, d.h. ein Vielfaches von \( 2 \) ist.
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Eine Darstellung gerader Zahlen)
Beweisen Sie, dass der Ausdruck \[ n^2+n \] für jede natürliche Zahl \( n\in\mathbb n \) eine gerade Zahl ist. Betrachten Sie dabei die Fälle, wenn \( n \) gerade oder ungerade ist, separat.
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Eine Darstellung ungerader Zahlen)
Finden Sie ein quadratisches Polynom \[ p(n)=an^2+bn+c \] mit geeignet gewählten \( a,b,c\in\mathbb N, \) so dass \( p(n) \) ungerade ist für alle \( n\in\mathbb N. \) Begründen Sie.
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Primzahldrillinge)
Zeigen Sie: Es ist \( (3,5,7) \) das einzig mögliche Beispiel eines Primzahldrillings, d.h. eines Zahlentripels der Form \[ (p,p+2,p+3)\quad\text{mit}\ p\ \text{prim.} \] Gehen Sie dabei wie folgt vor:
| \( \circ \) | Angenommen, \( (p,p+2,p+4) \) mit \( p\gt 3 \) ist ein Primzahldrilling. |
| \( \circ \) | Als Primzahl besitzt \( p \) nach Teilung durch \( 3 \) den Rest \( 1 \) oder \( 2. \) |
| \( \circ \) | Welche Reste besitzen dann \( p+2 \) und \( p+4? \) Was können Sie schließen? |
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Magische Quadrate aus der Edo-Zeit I)
Die Zahlen \( 1, \) \( 2 \) und \( 3 \) sind jeweils dreimal so in ein magisches Quadrat mit \( 3\times 3=9 \) Feldern einzutragen, dass die Summe der Elemente jeder Zeile, jeder Spalte und jeder Diagonale \( 6 \) beträgt. (Entnommen aus → F. Hidetoshi und T. Rothman, S. 78)
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Magische Quadrate aus der Edo-Zeit II)
Die Zahlen \( 1, \) \( 2, \) \( 3 \) und \( 4 \) sind jeweils viermal so in ein magisches Quadrat mit \( 4\times 4=16 \) Feldern einzutragen, dass die Summe der Elemente jeder Zeile, jeder Spalte und jeder Diagonale \( 10 \) beträgt. (Entnommen aus → F. Hidetoshi und T. Rothman, S. 78))
Erweiterung mit der Zahl \( 0 \)
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Eindeutigkeit der \( 1 \))
Beweisen Sie: Sind \( 1,1'\in\mathbb N \) zwei neutrale Elemente der Multiplikation, so gilt notwendig \( 1=1'. \)
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Eindeutigkeit der \( 0 \))
Beweisen Sie: Sind \( 0,0'\in\mathbb N \) zwei neutrale Elemente der Addition, so gilt notwendig \( 0=0'. \)
Einführung einer Ordnungsrelation
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Transitivität der Ordnungsrelation)
Es seien \( a,b,c\in\mathbb N \) mit \( a\lt b \) und \( b\lt c. \) Beweisen Sie \( a\lt c. \)
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Invarianz der Ordnungsrelation nach Addition)
Es seien \( m,n\in\mathbb N \) mit \( m\lt n. \) Beweisen Sie, dass dann gilt \[ m+r\lt n+r\quad\text{für alle}\ r\in\mathbb N. \]
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Eindeutigkeit des Vorgängers)
Es seien \( x,y\in\mathbb N\) Vorgänger der natürlichen Zahl \( m\gt 1, \) d.h. es gelten \( x+1=m \) und \( y+1=m. \) Beweisen Sie \( x=y. \)
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Invarianz der Ordnungsrelation nach Multiplikation)
Es seien \( m,n,z\in\mathbb N\) mit \( m\lt n \) und \( z\gt 0. \) Beweisen Sie \( mz\lt nz. \)
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Dirichletsches Schubfachprinzip)
Machen Sie sich folgendes anschaulich klar: Es sei \( n\ge 1 \) eine natürliche Zahl. Hat man nun \( n+1 \) Objekte in \( n \) Schubfächern verteilt, so gibt es mindestens ein Schubfach, in dem zwei oder mehr Objekte liegen.
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Vergleich von Summe und Produkt zweier Zahlen)
Welche natürlichen Zahlen \( m,n\in\mathbb N \) genügen einer der folgenden der Eigenschaften:
| (i) | \( m+n=m\cdot n \) |
| (ii) | \( m+n\le m\cdot n \) |
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Vergleich von Summe und Produkt von drei Zahlen)
Die Summe und das Produkt der drei Zahlen \( 1, \) \( 2, \) \( 3 \) sind gleich, d.h. es gilt \[ 1+2+3=1\cdot 2\cdot 3. \] Beweisen Sie, dass es kein weiteres Beispiel von drei Zahlen \( n_1,n_2,n_3\in\mathbb N \) gibt mit folgenden beiden Eigenschaften:
| \( \circ \) | \( 1\le n_1\le n_2\le n_3 \) |
| \( \circ \) | \( n_1+n_2+n_3=n_1\cdot n_2\cdot n_3 \) |
Das Induktionsaxiom
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Schwache und starke Induktion)
Das Prinzip der vollständigen Induktion wird auch als Prinzip der schwachen Induktion bezeichnet, neben dem auch folgendes Prinzip der starken Induktion existiert:
| (14') | Für jedes \( n\in\mathbb N \) sei \( A_n \) eine Aussage, so dass gelten: | ||||
|
|||||
| Dann gilt \( A_n \) für alle \( n\in\mathbb N. \) |
Beweisen Sie: Eine Aussage, die mit dem Prinzip der schwachen Induktion bewiesen werden kann, kann auch mit dem Prinzip der starken Induktion bewiesen werden und umgekehrt. Beide Beweisprinzipien sind also äquivalent.
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Natürliche Zahlen zwischen natürlichen Zahlen)
Sei \( k\in\mathbb N_0. \) Beweisen Sie, dass es kein \( n\in\mathbb N_0 \) gibt mit \( k\lt n\lt k+1. \)
Die Gaußsche Summenformel
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Die Gaußsche Summenformel)
Beweisen Sie vermittels vollständiger Induktion \[ \sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2}\,,\quad n\in\mathbb N. \]
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Summe der ersten ungeraden Zahlen)
Beweisen Sie vermittels vollständiger Induktion \[ \sum_{k=1}^n(2k-1)=n^2\,,\quad n\in\mathbb N. \]
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Summe der ersten geraden Zahlen)
Ermitteln Sie eine Darstellungsformel für die Summe der ersten \( n \) geraden Zahlen. Beweisen Sie Ihre Formel vermittels vollständiger Induktion.
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Summe der ersten Quadratzahlen)
Beweisen Sie vermittels vollständiger Induktion \[ \sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\,,\quad n\in\mathbb N. \]
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Summe der ersten geraden Quadratzahlen)
Ermitteln Sie eine explizite Darstellungsformel für die Summe \[ \sum_{k=1}^n(2k)^2\,. \] Beweisen Sie Ihre Formel vermittels vollständiger Induktion.
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Summe der ersten ungeraden Quadratzahlen)
Ermitteln Sie eine explizite Darstellungsformel für die Summe \[ \sum_{k=1}^n(2k-1)^2\,. \] Beweisen Sie Ihre Formel vermittels vollständiger Induktion.
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Summe der ersten Kubikzahlen)
Beweisen Sie vermittels vollständiger Induktion \[ \sum_{k=1}^nk^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\,,\quad n\in\mathbb N. \]
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Gaußsche Summenformel und Kubikzahlen)
Beweisen Sie die Richtigkeit der Identität \[ 1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=(1+2+3+\ldots+n)^2\quad\mbox{für alle}\ n\in\mathbb N. \]
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Nochmals die Summe der ersten Quadratzahlen)
| (i) | Es seien \( m,n\in\mathbb N_0. \) Berechen Sie jeweils eine explizite Form für die Potenzen |
| (ii) | Bestimmen Sie nun eine explizite Darstellungsformel für die Summe |
| Berechnen Sie dazu zunächst \( (k+1)^3-k^3 \) für \( k=1,2,\ldots,n. \) Ermitteln Sie anschließend durch geschicktes Summieren |
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Nochmals die Summe der ersten Kubikzahlen)
Bestimmen Sie eine explizite Darstellungsformel für die Summe \[ \sum_{k=1}^nk^3\,,\quad n\in\mathbb N, \] vermittels der aus der vorigen Aufgabe bekannten Methode.
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Summe der ersten vierten Potenzen)
Bestimmen Sie eine explizite Darstellungsformel für die Summe \[ \sum_{k=1}^nk^4\,,\quad n\in\mathbb N. \]
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Summe der ersten Zweierpotenzen)
Beweisen Sie vermittels vollständiger Induktion \[ \sum_{k=0}^n2^k=2^{n+1}-1,\quad n\in\mathbb N_0\,. \]
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Summe der ersten Dreierpotenzen)
Beweisen Sie vermittels vollständiger Induktion \[ \sum_{k=0}^n3^k=\frac{1}{2}\,(3^{n+1}-1),\quad n\in\mathbb N_0\,. \]
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Summe einer allgemeinen Potenz)
Es sei \( m\ge 2 \) eine natürliche Zahl. Beweisen Sie vermittels vollständiger Induktion \[ \sum_{k=0}^nm^k=\frac{1}{m-1}\,(m^{n+1}-1),\quad n\in\mathbb N_0\,. \]
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Abschätzung der harmonischen Summe nach unten)
Beweisen Sie die Richtigkeit von \[ \sum_{k=1}^{2^n}\frac{1}{k}\ge 1+\frac{n}{2}\quad\text{für alle}\ n=1,2,\ldots \]
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Summe aufeinander folgender Zahlen I)
Es sei \( N\in\mathbb N \) eine ungerade Zahl. Beweisen Sie, dass dann die Summe von \( N \) aufeinander folgenden Zahlen ohne Rest durch \( N \) teilbar ist.
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Summe aufeinander folgender Zahlen II)
Es sei \( N\in\mathbb N \) eine gerade Zahl. Beweisen Sie, dass dann die Summe von \( N \) aufeinander folgenden Zahlen ohne Rest durch \( \frac{N}{2} \) teilbar ist.
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Ein Spezialfall der Bernoullischen Ungleichung)
Beweisen Sie die Richtigkeit von \[ n\lt 2^n\quad\text{für alle}\ n\in\mathbb N,\ n\ge 1. \]
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Eine nützliche Ungleichung)
Beweisen Sie die Richtigkeit von \[ 2n+1\lt 2^n\quad\text{für alle}\ n\in\mathbb N,\ n\ge 3. \]
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Noch eine nützliche Ungleichung)
Beweisen Sie die Richtigkeit von \[ n^2\le 2^n\quad\text{für alle}\ n\in\mathbb N,\ n\ge 4. \]
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Vollständige Induktion und Abbildungen)
Beweisen Sie, dass für eine Abbildung \( f\colon\mathbb N\to\mathbb N\) mit der Eigenschaft \[ f(f(n))\lt f(n+1)\quad\text{für alle}\ n\in\mathbb N \] notwendig folgt \[ f(n)=n\quad\text{für alle}\ n\in\mathbb N. \]
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Durch \( 3 \) teilbare Potenzausdrücke)
| (i) | Beweisen Sie vermittels vollständiger Induktion, dass |
| für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 3 \) ohne Rest teilbar ist. | |
| (ii) | Schließen Sie durch Anwenden elementarer Rechenregeln, dass dann auch |
| für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 3 \) ohne Rest teilbar sind. |
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Durch \( 3 \) teilbare Exponentialausdrücke)
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgende Ausdrücke ohne Rest durch \( 3 \) teilbar sind.
| (i) | \( 4^n-1 \) |
| (ii) | \( 4^n+15n-1 \) |
| (iii) | \( 10^n+2 \) |
| (iv) | \( 13^n+2 \) |
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Durch \( 4 \) teilbare Potenzausdrücke)
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgende Ausdrücke für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 4 \) ohne Rest teilbar sind:
| (i) | \( 2n^2+2n \) |
| (ii) | \( 2n^2+6n-4 \) |
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Durch \( 4 \) teilbare Exponentialausdrücke)
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgende Ausdrücke ohne Rest durch \( 4 \) teilbar sind.
| (i) | \( 5^n-1 \) |
| (ii) | \( 5^n+7 \) |
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Durch \( 5 \) teilbare Potenzausdrücke)
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgende Ausdrücke für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 5 \) ohne Rest teilbar sind:
| (i) | \( n^5-n \) |
| (ii) | \( 2n^5+3n \) |
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Durch \( 5 \) teilbare Exponentialausdrücke)
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgende Ausdrücke ohne Rest durch \( 5 \) teilbar sind.
| (i) | \( 3^{n+1}+2^{3n+1} \) |
| (ii) | \( 6^n-5n+4 \) |
| (iii) | \( 6^{n+1}+4 \) |
| (iv) | \( 7^n-2^n \) |
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Durch \( 6 \) teilbare Potenzausdrücke)
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgende Ausdrücke für alle \( n\in\mathbb N \) ohne Rest durch \( 6 \) Rest teilbar sind:
| (i) | \( n^3-n \) |
| (ii) | \( n^3+5n \) |
| (iii) | \( 2n^3+3n^2+n \) |
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Durch \( 6 \) teilbare Exponentialausdrücke)
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgender Ausdruck \[ 3^n-3 \] für alle \( n\in\mathbb N \) ohne Rest durch \( 6 \) teilbar ist.
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Durch \( 7 \) teilbare Potenzausdrücke)
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgender Ausdruck \[ n^7-n \] für alle \( n\in\mathbb N \) ohne Rest durch \( 7 \) teilbar ist.
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Durch \( 7 \) teilbare Exponentialausdrücke)
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgende Ausdrücke für alle \( n\in\mathbb N \) ohne Rest \( 7 \) teilbar sind:
| (i) | \( 2^{n+2}+3^{2n+1} \) |
| (ii) | \( 2^{3n}+13 \) |
| (iii) | \( 2^{3n}-1 \) |
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Durch \( 8 \) teilbare Potenzausdrücke)
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgender Ausdrucke \[ 4(n^2+n) \] für alle \( n\in\mathbb N \) ohne Rest durch \( 8 \) teilbar ist.
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Durch \( 8 \) teilbare Exponentialausdrücke)
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgende Ausdrücke für alle \( n\in\mathbb N \) ohne Rest durch \( 8 \) teilbar sind:
| (i) | \( 3^{2n}+7 \) |
| (ii) | \( 5^{2n}-3^{2n} \) |
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Durch \( 9 \) teilbare Potenzausdrücke)
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgender Ausdruck \[ n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 \] für alle \( n\in\mathbb N \) ohne Rest durch \( 9 \) teilbar ist.
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Durch \( 9 \) teilbare Exponentialausdrücke)
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgende Ausdrücke für alle \( n\in\mathbb N \) ohne Rest durch \( 9 \) teilbar sind:
| (i) | \( 4^n+15n-1 \) |
| (ii) | \( 10^n+3\cdot 4^{n+2}+5 \) |
| (iii) | \( 10^n-1 \) |
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Durch \( 10 \) teilbare Potenzausdrücke)
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgender Ausdruck \[ n^5-n \] für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 10 \) ohne Rest teilbar ist.
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Durch \( 11 \) teilbare Exponentialausdrücke)
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgender Ausdruck \[ 10^{2n+1}+1 \] für alle \( n\in\mathbb N \) durch \( 11 \) ohne Rest teilbar ist.
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Durch \( 12 \) teilbare Potenzaudrücke)
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgender Ausdruck \[ n^4-n^2 \] für alle \( n\in\mathbb N \) ohne Rest durch \( 12 \) ist.
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Durch \( 12 \) teilbare Exponentialausdrücke)
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgender Ausdruck für alle \( n\in\mathbb N \) ohne Rest durch \( 12 \) teilbar ist: \[ 13^n-1 \] für alle \( n\in\mathbb N \) ohne Rest durch \( 12 \) teilbar ist.<
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Durch \( 13 \) teilbare Exponentialausdrücke)
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgende Ausdrücke für alle \( n\in\mathbb N \) ohne Rest durch \( 13 \) teilbar sind:
| (i) | \( 17^n-4^n \) |
| (ii) | \( 4^{2n+1}+3^{n+2} \) |
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Durch \( 15 \) teilbare Potenzausdrücke)
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgender Ausdruck \[ 3n^5+5n^3+7n \] für alle \( n\in\mathbb N \) ohne Rest durch \( 15 \) teilbar ist.
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Durch \( 17 \) teilbare Exponentialausdrücke)
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgender Ausdruck \[ 3\cdot 5^{2n+1}+2^{3n+1} \] für alle \( n\in\mathbb N \) ohne Rest durch \( 17 \) teilbar ist.
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Durch \( 19 \) teilbare Exponentialausdrücke)
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgender Ausdruck \[ 3^{3n-2}+2^{3n+1} \] für alle \( n\in\mathbb N \) ohne Rest durch \( 19 \) teilbar ist.
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Duch \( 23 \) teilbare Exponentialausdrücke)
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgende Ausdrücke für alle \( n\in\mathbb N \) ohne Rest durch \( 23 \) teilbar sind:
| (i) | \( 5^{2n}-2^n \) |
| (ii) | \( 852^n-1 \) |
| (iii) | \( 2^{7n+3}+3^{2n+1}\cdot5^{4n+1} \) |
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Durch \( 24 \) teilbare Exponentialausdrücke)
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgender Ausdruck \[ 5^{2n}-1 \] für alle \( n\in\mathbb N \) ohne Rest durch \( 24 \) teilbar ist.
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Durch \( 27 \) teilbare Exponentialausdrücke)
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgender Ausdruck \[ 10^n+18n-28 \] für alle \( n\in\mathbb N \) ohne Rest durch \( 27 \) teilbar ist.
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Durch \( 47 \) teilbare Exponentialausdrücke)
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgender Ausdruck \[ 7^{2n}-2^n \] für alle \( n\in\mathbb N \) ohne Rest durch \( 47 \) teilbar ist.
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Durch \( 48 \) teilbare Exponentialausdrücke)
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgender Ausdruck \[ 5^{2n}+24n-1 \] für alle \( n\in\mathbb N \) ohne Rest durch \( 48 \) teilbar ist.
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Durch \( 133 \) teilbare Exponentialausdrücke)
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgender Ausdruck \[ 11^{n+2}+12^{2n+1} \] für alle \( n\in\mathbb N \) ohne Rest durch \( 133 \) teilbar ist.
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Durch \( 390 \) teilbare Exponentialausdrücke)
Beweisen Sie, eventuell vermittels vollständiger Induktion, dass folgender Ausdruck \[ (17^n-4^n)(n^{10}+n^9+2n^8+2n^7-n^6-n^5-2n^4-2n^3) \] für alle \( n\in\mathbb N \) ohne Rest durch \( 390=2\cdot 3\cdot 5\cdot 13 \) teilbar ist.
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Eine Summendarstellung natürlicher Zahlen)
Beweisen Sie, dass jede natürliche Zahl \( n\ge 12 \) in der Form \[ s=4a+5b \] mit geeigneten \( a,b\in\mathbb N \) geschrieben werden kann.
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Anzahl der Teilmengen endlicher Mengen)
Es sei \( n\in\mathbb N. \) Beweisen Sie, dass jede \( n \)-elementige Menge genau \( 2^n \) Teilmengen besitzt.
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Primfaktorzerlegung)
Beweisen Sie vermittels starker Induktion: Jede natürliche Zahl \( n\gt 1 \) ist das Produkt von Primzahlen, wobei eine Primzahl selbst als Produkt von Primzahlen angesehen wird.
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Fibonaccizahlen)
Die Fibonaccizahlen sind wie folgt rekursiv definiert \[ F_1:=1,\quad F_2:=1,\quad F_n:=F_{n-1}+F_{n-2}\ \text{für}\ n=3,4,\ldots \] Beweisen Sie, dass für alle \( n=1,2,\ldots \) richtig sind:
| (i) | \( F_n\le F_{n+1} \) |
| (ii) | \( F_{n+1}\le 2F_n \) |
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Summen über Fibonaccizahlen)
Es ist zu beweisen, dass für alle \( n=1,2,\ldots \) die folgenden Aussagen richtig sind:
| (i) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^nF_k=F_{n+2}-1 \) |
| (ii) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^nF_{2k}=F_{2n+1}-1 \) |
| (i) | \( \displaystyle\sum_{k=1}^nF_k^2=F_nF_{n+1} \) |
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Identität von Cassini)
Beweisen Sie die Richtigkeit von \[ F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n\quad\text{für alle}\ n=2,3,\ldots \]
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Zur Teilerfremdheit der Fibonaccizahlen I)
Beweisen Sie: Es existiert keine natürliche Zahl \( m\in\mathbb N, \) \( m\gt 1, \) welche zwei aufeinanderfolgende Fibonaccizahlen \( F_n \) und \( F_{n+1} \) ohne Rest teilt.
Aufgabe (Die natürlichen Zahlen - Zur Teilerfremdheit der Fibonaccizahlen II)
Beweisen Sie: Es existiert keine natürliche Zahl \( m\in\mathbb N, \) \( m\gt 1, \) welche zwei Fibonaccizahlen \( F_n \) und \( F_{n+2} \) ohne Rest teilt.