Abschnitt 2.2: Die ganzen Zahlen
Leitfaden für die 2. Präsenzübung
| \( \circ \) | Ganze Zahlen und äquivalente Zahlenpaare |
| \( \circ \) | Ganze Zahlen und Äquivalenzklassen |
| \( \circ \) | Beispiel einer Äquivalenzrelation auf \( \mathbb Z \) |
Leitfaden für das 2. Tutorium
| \( \circ \) | Die Äquivalenzrelation der ganzen Zahlen |
| \( \circ \) | Äquivalenzrelationen und Äquivalenzklassen |
| \( \circ \) | 5. Spezialistenlager junger Mathematiker 1966 |
Definition der ganzen Zahlen
Aufgabe (Die ganzen Zahlen - Ganze Zahlen und äquivalente Zahlenpaare)
Verifizieren Sie:
| (i) | \( (5,2)\sim_{\mathbb Z}(11,8) \) |
| (ii) | \( (2,5)\sim_{\mathbb Z}(8,11) \) |
| (iii) | \( (7,0)\sim_{\mathbb Z}(21,14) \) |
Aufgabe (Die ganzen Zahlen - Ganze Zahlen und Äquivalenzklassen)
Geben Sie drei verschiedene Elemente der folgenden Äquivalenzklassen an:
| (i) | \( [(11,8)]_{\mathbb Z} \) |
| (ii) | \( [(7,13)]_{\mathbb Z} \) |
| (iii) | \( [(4,4)]_{\mathbb Z} \) |
Aufgabe (Die ganzen Zahlen - Die Äquivalenzrelation der ganzen Zahlen)
Beweisen Sie, dass \( \sim_{\mathbb Z} \) eine Äquivalenzrelation auf \( \mathbb N_0\times\mathbb N_0 \) darstellt.
Aufgabe (Die ganzen Zahlen - Äquivalenzrelationen und Äquivalenzklassen)
Es sei \( \sim \) eine Äquivalenzrelation auf einer Menge \( M \) (als kartesisches Produkt \( K\times K \) einer Menge \( K \)), und es bezeichne \[ K_a:=\{x\in M\,:\,x\sim a\} \] die zu \( a\in M \) gehörige Äquivalenzklasse. Beweisen Sie, dass für alle \( a,b\in M \) gilt \[ a\sim b\quad\text{genau dann, wenn}\ K_a=K_b\,. \]
Aufgabe (Die ganzen Zahlen - Eine Äquivalenzrelation auf endlichen Teilmengen)
Es sei \( X \) die Menge aller endlichen Teilmengen \( M \) einer unendlichen Obermenge \( N, \) und es bezeichne \( |M| \) die Anzahl der Elemente einer solchen endlichen Menge \( M\in X. \) Betrachten Sie auf \( X\times X \) die Relation \( \mathcal R \) vermöge \[ \begin{array}{l} (M_1,M_2)\in\mathcal R,\quad\text{in Zeichen}\ M_1\sim M_2\,, \\[0.4ex] \text{genau dann, wenn}\quad |M_1|=|M_2|. \end{array} \] Beweisen Sie, dass \( \sim \) eine Äquivalenzrelation darstellt.
Addition und Multiplikation
Aufgabe (Die ganzen Zahlen - Rechnen mit ganzen Zahlen)
Berechnen Sie
| (i) | \( [(k,\ell)]_{\mathbb Z}+[(m,n)]_{\mathbb Z} \) |
| (ii) | \( [(k,\ell)]_{\mathbb Z}+[(m,0)]_{\mathbb Z} \) |
| (iii) | \( [(k,\ell)]_{\mathbb Z}+[(0,n)]_{\mathbb Z} \) |
| (iv) | \( [(k,\ell)]_{\mathbb Z}\cdot[(m,n)]_{\mathbb Z} \) |
| (v) | \( [(k,\ell)]_{\mathbb Z}\cdot[(m,0)]_{\mathbb Z} \) |
| (vi) | \( [(k,\ell)]_{\mathbb Z}\cdot[(0,n)]_{\mathbb Z} \) |
Aufgabe (Die ganzen Zahlen - Wohldefiniertheit der Addition in \( \mathbb Z \))
Beweisen Sie, dass die Addition ganzer Zahlen \[ [(k,\ell)]_{\mathbb Z}+[(m,n)]_{\mathbb Z}=[(k+m,\ell+n)]_{\mathbb Z} \] wohldefiniert, d.h. unabhängig von der Wahl der Repräsentanten der Äquivalenzklassen ist.
Aufgabe (Die ganzen Zahlen - Wohldefiniertheit der Multiplikation in \( \mathbb Z \))
Beweisen Sie, dass die Multiplikation ganzer Zahlen \[ [(k,\ell)]_{\mathbb Z}\cdot[(m,n)]_{\mathbb Z}=[(k\cdot m+\ell\cdot n,k\cdot n+\ell\cdot m)]_{\mathbb Z} \] wohldefiniert, d.h. unabhängig von der Wahl der Repräsentanten der Äquivalenzklassen ist.
Einbettung der natürlichen Zahlen
Aufgabe (Die ganzen Zahlen - Umschreiben von ganzen Zahlen)
Um welche positiven bzw. negativen ganzen Zahlen handelt es sich?
| (i) | \( [(5,0)]_{\mathbb Z}, \) \( [(8,1)]_{\mathbb Z}, \) \( [(12,11)]_{\mathbb Z} \) |
| (ii) | \( [(0,2)]_{\mathbb Z}, \) \( [(3,5)]_{\mathbb Z}, \) \( [(2,9)]_{\mathbb Z} \) |
Aufgabe (Die ganzen Zahlen - Ausführbarkeit der Subtraktion in \( \mathbb Z \))
Beweisen Sie, dass \( x\in\mathbb Z \) in der Gleichung \[ [(k,\ell)]_{\mathbb Z}+x=[(m,n)]_{\mathbb Z} \] die folgende eindeutig bestimmte und ganzzahlige Lösung besitzt \[ x=[(m+\ell,k+n)]_{\mathbb Z}\,. \]
Aufgabe (Die ganzen Zahlen - Existenz und Eindeutigkeit der additiven Inversen)
Beweisen Sie, dass jede Zahl \( x\in\mathbb Z \) genau ein additives Inverses \( -x\in\mathbb Z \) besitzt mit der charakteristischen Eigenschaft \[ x+(-x)=(-x)+x=0. \]
Aufgabe (Die ganzen Zahlen - Eigenschaften der Addition in \( \mathbb Z \))
Beweisen Sie:
| (i) | Die Addition in \( \mathbb Z \) ist kommutativ. |
| (ii) | Die Addition in \( \mathbb Z \) ist assoziativ. |
| (ii) | In \( \mathbb Z \) gilt die Kürzungsregel der Addition. |
Aufgabe (Die ganzen Zahlen - Eigenschaften der Multiplikation in \( \mathbb Z \))
Beweisen Sie:
| (i) | Die Multiplikation in \( \mathbb Z \) ist kommutativ. |
| (ii) | Die Multiplikation in \( \mathbb Z \) ist assoziativ. |
| (ii) | In \( \mathbb Z \) gilt die Kürzungsregel der Multiplikation. |
Aufgabe (Die ganzen Zahlen - Distributivgesetz in \( \mathbb Z \))
Beweisen Sie die Gültigkeit des Distributivgesetzes in \( \mathbb Z. \)
Aufgabe (Die ganzen Zahlen - Beispiel einer Äquivalenzrelation auf \( \mathbb Z \))
Auf der Menge \( \mathbb Z\times\mathbb Z \) sei eine Relation \( {\mathcal R} \) definiert vermöge \[ (m,n)\in{\mathcal R}\ \text{bzw.}\ m\sim n \quad\text{genau dann, wenn}\quad m^2=n^2\,. \]
| (i) | Beweisen Sie, dass \( \sim \) eine Äquivalenzrelation darstellt. |
| (ii) | Beschreiben Sie die von \( \sim \) erzeugten Äquivalenzklassen. |
Ordnungsstruktur der ganzen Zahlen
Aufgabe (Die ganzen Zahlen - Erste Ungleichungen I)
Gesucht sind alle \( (x,y)\in\mathbb Z\times\mathbb Z \) mit \( x,y\ge 0, \) so dass \[ x+y\le 4,\quad 2x+5y\gt 10. \]
Aufgabe (Die ganzen Zahlen - Erste Ungleichungen II)
Gesucht sind alle Zahlentripel \( (x,y,z) \) aus nichtnegativen ganzen Zahlen \( x, \) \( y \) und \( z \) mit \[ xy+8=z,\quad x+y+z\le 10. \]
Aufgabe (Die ganzen Zahlen - Ganze Zahlen mit gleichen Abständen)
Jeder Zahl \( n\in\mathbb N \) denken wir uns auf irgend eine Art und Weise genau eine der beiden Farben rot oder blau zugeordnet. Beweisen Sie, dass dann drei Zahlen \( n_1,n_2,n_3\in\mathbb N \) gleicher Farbe existieren mit \[ 1\le n_1\lt n_2\lt n_3\quad\text{und}\quad n_3-n_2=n_2-n_1\,. \] (nach Monoid 137, Aufgabe 1235)
Aufgabe (Die ganzen Zahlen - 5. Spezialistenlager Junger Mathematiker 1966)
Es ist zu beweisen, dass die Gleichung \[ x^3+px+q=0 \] keine ganzzahligen Lösungen besitzt, wenn \( p \) und \( q \) ungerade Zahlen sind.