Abschnitt 2.3: Die rationalen Zahlen
Leitfaden für die 3. Präsenzübung
| \( \circ \) | Auflösungsaufgaben aus dem Papyrus Rhind I |
| \( \circ \) | Ausführbarkeit der Division in \( \mathbb Q \) |
| \( \circ \) | Existenz und Eindeutigkeit der multiplikativen Inversen |
| \( \circ \) | Die positiven rationalen Zahlen sind abzählbar |
| \( \circ \) | Gerade und ungerade Zahlen |
| \( \circ \) | Galileis-Paradoxon |
Leitfaden für das 3. Tutorium
| \( \circ \) | Abzählbarkeit von \( \mathbb N_0\times\mathbb N_0 \) |
| \( \circ \) | Kreuzprodukte abzählbarer Mengen |
| \( \circ \) | Potenzen von \( \mathbb N \) |
| \( \circ \) | Abzählbare Teilmengen I |
| \( \circ \) | Abzählbarkeit endlicher Teilmengen von \( \mathbb N \) |
Definition der rationalen Zahlen
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Rationale Zahlen und äquivalente Zahlenpaare)
Verifizieren Sie:
| (i) | \( (5,2)\sim_{\mathbb Q}(15,6) \) |
| (ii) | \( (1,5)\sim_{\mathbb Q}(3,15) \) |
| (iii) | \( (0,7)\sim_{\mathbb Q}(0,6) \) |
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Rationale Zahlen und Äquivalenzklassen)
Geben Sie drei verschiedene Elemente der folgenden Äquivalenzklassen an:
| (i) | \( [(11,8)]_{\mathbb Q} \) |
| (ii) | \( [(8,11)]_{\mathbb Q} \) |
| (iii) | \( [(13,7)]_{\mathbb Q} \) |
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Die Äquivalenzrelation der rationalen Zahlen)
Beweisen Sie, dass \( \sim_{\mathbb Q} \) eine Äquivalenzrelation auf \( \mathbb Z\times\mathbb Z\setminus\{0\} \) darstellt.
Addition und Multiplikation
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Rechnen mit rationalen Zahlen)
Berechnen Sie
| (i) | \( [(k,\ell)]_{\mathbb Q}+[(0,1)]_{\mathbb Q} \) |
| (ii) | \( [(k,\ell)]_{\mathbb Q}+[(1,1)]_{\mathbb Q} \) |
| (iii) | \( [(k,\ell)]_{\mathbb Q}+[(m,1)]_{\mathbb Q} \) |
| (iv) | \( [(k,\ell)]_{\mathbb Q}\cdot[(0,1)]_{\mathbb Q} \) |
| (v) | \( [(k,\ell)]_{\mathbb Q}\cdot[(1,1)]_{\mathbb Q} \) |
| (vi) | \( [(k,\ell)]_{\mathbb Q}\cdot[(m,1)]_{\mathbb Q} \) |
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Kürzen und Erweitern von Brüchen)
Es sei \( (k,\ell)\in\mathbb Z\times\mathbb Z\setminus\{0\}. \) Beweisen Sie, dass für alle \( \lambda\not=0 \) gilt \[ (k,\ell)\sim_{\mathbb Q}(\lambda k,\lambda\ell). \]
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Wohldefiniertheit der Addition in \( \mathbb Q \))
Beweisen Sie, dass die Addition rationaler Zahlen \[ [(k,\ell)]_{\mathbb Q}+[(m,n)]_{\mathbb Q}:=[(k\cdot n+\ell\cdot m,\ell\cdot n)]_{\mathbb Q} \] wohldefiniert, d.h. unabhängig von der Wahl der Repräsentanten der Äquivalenzklassen ist.
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Wohldefiniertheit der Multiplikation in \( \mathbb Q \))
Beweisen Sie, dass die Multiplikation rationaler Zahlen \[ [(k,\ell)]_{\mathbb Q}\cdot[(m,n)]_{\mathbb Q}:=[(k\cdot m,\ell\cdot n)]_{\mathbb Q} \] wohldefiniert, d.h. unabhängig von der Wahl der Repräsentanten der Äquivalenzklassen ist.
Einbettung der ganzen Zahlen
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Umschreiben von ganzen Zahlen)
Um welche nicht weiter kürzbaren Brüche bzw. ganzen Zahlen handelt es sich?
| (i) | \( [(5,3)]_{\mathbb Q} \) |
| (ii) | \( [(27,3)]_{\mathbb Q} \) |
| (iii) | \( [(992,8)]_{\mathbb Q} \) |
| (iv) | \( [(2852,23)]_{\mathbb Q} \) |
| (v) | \( [(31476,183)]_{\mathbb Q} \) |
| (vi) | \( [(5233561,1721)]_{\mathbb Q} \) |
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Ausführbarkeit der Division in \( \mathbb Q \))
Es seien \( k,\ell,m,n\not=0. \) Beweisen Sie, dass \( x\in\mathbb Q\setminus\{0\} \) in der Gleichung \[ [(k,\ell)]_{\mathbb Q}\cdot x=[(m,n)]_{\mathbb Q} \] die folgende eindeutig bestimmte und rationale Lösung besitzt \[ x=[(\ell\cdot m,k\cdot n)]_{\mathbb Q}\,. \]
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Existenz und Eindeutigkeit der multiplikativen Inversen)
Beweisen Sie, dass jede Zahl \( x\in\mathbb Q\setminus\{0\} \) genau ein multiplikatives Inverses \( x^{-1}\in\mathbb Q \) besitzt mit der charakteristischen Eigenschaft \[ x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot x=1. \]
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Eigenschaften der Addition in \( \mathbb Q \))
Beweisen Sie:
| (i) | Die Addition in \( \mathbb Q \) ist kommutativ. |
| (ii) | Die Addition in \( \mathbb Q \) ist assoziativ. |
| (ii) | In \( \mathbb Q \) gilt die Kürzungsregel der Addition. |
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Eigenschaften der Multiplikation in \( \mathbb Q \))
Beweisen Sie:
| (i) | Die Multiplikation in \( \mathbb Q \) ist kommutativ. |
| (ii) | Die Multiplikation in \( \mathbb Q \) ist assoziativ. |
| (ii) | In \( \mathbb Q \) gilt die Kürzungsregel der Multiplikation. |
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Distributivgesetz in \( \mathbb Q \))
Beweisen Sie die Gültigkeit des Distributivgesetzes in \( \mathbb Q. \)
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Multiplikationsaufgaben aus dem Papyrus Rhind)
Die Aufgaben 7 bis 20 des Papyrus Rhind beinhalten die folgenden, hier - in moderner Notation - als Aufgaben auszuführenden Multiplikationsaufgaben:
| (i) | \( \displaystyle\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{28}\right)\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right) \) |
| (ii) | \( \displaystyle\frac{1}{4}\left(1+\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\right) \) |
| (iii) | \( \displaystyle\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{14}\right)\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right) \) |
| (iv) | \( \displaystyle\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{28}\right)\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right) \) |
| (v) | \( \displaystyle\frac{1}{7}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right) \) |
| (vi) | \( \displaystyle\frac{1}{14}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right) \) |
| (vii) | \( \displaystyle\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{112}\right)\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right) \) |
| (viii) | \( \displaystyle\frac{1}{28}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right) \) |
| (ix) | \( \displaystyle\left(\frac{1}{32}+\frac{1}{224}\right)\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right) \) |
| (x) | \( \displaystyle\frac{1}{2}\left(1+\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\right) \) |
| (xi) | \( \displaystyle\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\right) \) |
| (xii) | \( \displaystyle\frac{1}{6}\left(1+\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\right) \) |
| (xiii) | \( \displaystyle\frac{1}{12}\left(1+\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\right) \) |
| (xiv) | \( \displaystyle\frac{1}{24}\left(1+\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\right) \) |
(aus → M. Clagett)
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Auflösungsaufgaben aus dem Papyrus Rhind I)
In den Aufgaben 21 bis 23 des Papyrus Rhind ist jeweils - in moderner Notation - die Unbekannte \( x \) gesucht:
| (i) | \( \displaystyle\frac{2}{3}+\frac{1}{5}+x=1 \) |
| (ii) | \( \displaystyle\frac{2}{3}+\frac{1}{30}+x=1 \) |
| (iii) | \( \displaystyle\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+\frac{1}{30}+\frac{1}{45}+x=\frac{2}{3} \) |
(aus → M. Clagett)
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Auflösungsaufgaben aus dem Papyrus Rhind II)
In den Aufgaben 28 und 29 des Papyrus Rhind ist jeweils - in moderner Notation - die Unbekannte \( x \) gesucht:
| (i) | \( \displaystyle\left(x+\frac{2}{3}\,x\right)-\frac{1}{3}\left(x+\frac{2}{3}\,x\right)=10 \) |
| (ii) | \( \displaystyle\frac{1}{3}\cdot\left\{\left(x+\frac{2}{3}\,x\right)+\frac{1}{3}\left(x+\frac{2}{3}\,x\right)\right\}=10 \) |
(aus → M. Clagett)
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Auflösungsaufgaben aus dem Papyrus Rhind III)
In den Aufgaben 30 und 34 des Papyrus Rhind ist jeweils - in moderner Notation - die Unbekannte \( x \) gesucht. Im Vergleich zur vorigen Aufgabe beachte man den erhöhten Schwierigkeitsgrad.
| (i) | \( \displaystyle\frac{2x}{3}+\frac{x}{10}=10 \) |
| (ii) | \( \displaystyle x+\frac{2x}{3}+\frac{x}{2}+\frac{x}{7}=33 \) |
| (iii) | \( \displaystyle x+\frac{x}{3}+\frac{x}{4}=2 \) |
| (iv) | \( \displaystyle x+\frac{2x}{3}+\frac{x}{2}+\frac{x}{7}=37 \) |
| (v) | \( \displaystyle x+\frac{x}{2}+\frac{x}{4}=40 \) |
(aus → M. Clagett)
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Größter gemeinsamer Teiler)
Unter dem größten gemeinsamen Teiler \[ \text{ggT}\,(a,b)\in\mathbb Z \] zweier Zahlen \( a,b\in\mathbb Z \) verstehen wir eine ganze Zahl mit
| \( \circ \) | \( \text{ggT}\,(a,b) \) teilt \( a \) und \( b \) ohne Rest, |
| \( \circ \) | jede ganze Zahl \( n\in\mathbb Z, \) die \( a \) und \( b \) ohne Rest teil, teilt ebenfalls \( \text{ggT}\,(a,b). \) |
Bestimmen Sie
| (i) | \( \text{ggT}\,(15,445) \) |
| (ii) | \( \text{ggT}\,(77,273) \) |
| (iii) | \( \text{ggT}\,(273,1001) \) |
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Kleinstes gemeinsames Vielfaches)
Unter dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen \[ \text{kgV}\,(a,b)\in\mathbb Z \] zweier ganzer Zahlen \( a,b\in\mathbb Z \) verstehen wir eine Zahl mit
| \( \circ \) | \( \text{kgV}\,(a,b) \) ist die kleinste positive Zahl, die sowohl Vielfaches von \( a \) als auch Vielfaches von \( b \) ist. |
Für \( a=0 \) oder \( b=0 \) setzen wir \( \text{kgV}\,(a,b):=0. \) Bestimmen Sie
| (i) | \( \text{kgV}\,(15,445) \) |
| (ii) | \( \text{kgV}\,(77,273) \) |
| (iii) | \( \text{kgV}\,(273,1001) \) |
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Aufstellen expliziter Summenausdrücke)
Es sei \( n\in\mathbb N. \) Bestimmen Sie explizite Ausdrücke für die folgenden Summen \( S_n. \) Gegen welche Werte konvergieren die \( S_n \) im Grenzfall \( n\to\infty? \)
| (i) | \( \displaystyle S_n:=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\ldots+\frac{1}{(n-1)\cdot n} \) für \( n\ge 2 \) |
| (ii) | \( \displaystyle S_n:=\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\ldots+\frac{1}{(n-2)\cdot(n-1)\cdot n} \) für \( n\ge 3 \) |
Abzählbarkeit der rationalen Zahlen
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Abzählbarkeit der natürlichen Zahlen)
Beweisen Sie, dass die Menge \( \mathbb N_0 \) der natürlichen Zahlen abzählbar unendlich ist.
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Gerade und ungerade Zahlen)
Beweisen Sie durch Angabe geeigneter Bijektionen die Gleichmächtigkeit der folgenden Mengen.
| (i) | \( \mathbb N \) und \( \mathbb N_g:=\{n\in\mathbb N\,:\,n\ \mbox{ist gerade}\} \) |
| (ii) | \( \mathbb N \) und \( \mathbb N_u:=\{n\in\mathbb N\,:\,n\ \mbox{ist ungerade}\} \) |
| (iii) | \( \mathbb N_g \) und \( \mathbb N_u \) unter Verwendung von (i) und (ii) |
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Beispiele gleichmächtiger Mengen)
Beweisen Sie die Gleichmächtigkeit der folgenden Mengen \( M \) und \( N \) durch Angabe geeigneter Bijektionen.
| (i) | \( M=\{1,2\} \) und \( N=\{7,9\} \) |
| (ii) | \( M=\{1,2,3\} \) und \( N=\{a,b,c\} \) |
| (iii) | \( M=\mathbb N \) und \( N=\mathbb N\setminus\{1,2,3\} \) |
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Beispiele abzählbarer Mengen I)
Beweisen Sie durch Angeben einer Bijektion, dass die folgenden Mengen \( M \) gleichmächtig zu \( \mathbb N \) und damit abzählbar unendlich sind.
| (i) | \( M=2\mathbb N:=\{2,4,6,8,10,\ldots\} \) |
| (ii) | \( M=3\mathbb N:=\{3,6,9,12,15,\ldots\} \) |
| (iii) | \( M=k\mathbb N:=\{k,2k,3k,4k,5k,\ldots\} \) |
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Natürliche und ganze Zahlen)
Beweisen Sie die Gleichmächtigkeit von \( \mathbb N \) und \( \mathbb Z. \)
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Abzählbarkeit von \( \mathbb N_0\times\mathbb N_0 \))
Beweisen Sie, dass vermittels \[ f(m,n):=\frac{(m+n+1)(m+n)}{2}+n,\quad(m,n)\in\mathbb N_0\times\mathbb N_0\,, \] eine Bijektion zwischen \( \mathbb N_0\times\mathbb N_0 \) und \( \mathbb N_0 \) gegeben ist. Diese Abbildung bezeichnet man als Cantorsche Paarungsfunktion.
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Mengen und Teilmengen)
Es seien \( M \) eine nicht endliche Menge und \( A\subset M \) eine endliche oder abzählbar unendliche Teilmenge. Das Komplement \( M\setminus A \) sei nicht endlich. Beweisen Sie, dass dann \( M \) und \( M\setminus A \) gleichmächtig sind.
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Die positiven rationalen Zahlen sind abzählbar)
Beweisen Sie durch ein geeignetes Schema die Abzählbarkeit der positiven rationalen Zahlen.
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Kreuzprodukte abzählbarer Mengen)
Es seien \( A \) und \( B \) zwei abzählbar unendliche Mengen. Beweisen Sie durch ein geeignetes Schema, dass dann auch \[ A\times B \] abzählbar unendlich ist.
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Potenzen von \( \mathbb N \))
Beweisen Sie durch geeignete Schemas, d.h. nicht durch explizite Bijektionen, dass folgende Mengen abzählbar unendlich sind.
| (i) | \( \mathbb N^2=\mathbb N\times\mathbb N \) |
| (ii) | \( N^k=\mathbb N\times\ldots\times\mathbb N \) für \( k=1,2,3,\ldots \) |
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Beispiele abzählbarer Mengen II)
Beweisen Sie durch geeignete Schemas, dass folgenden Mengen \( M \) abzählbar unendlich sind.
| (i) | \( M=\{n\in\mathbb N\,:\,\text{es gibt ein}\ k\in\mathbb N\ \mbox{mit}\ n=k^2\} \) |
| (ii) | \( M=\{n\in\mathbb N\,:\,\text{es gibt ein}\ k\in\mathbb N\ \mbox{mit}\ n=k^3\} \) |
| (ii) | \( M=\{n\in\mathbb N\,:\,\text{es existieren}\ k,m\in\mathbb N\ \mbox{mit}\ n=k^m\} \) |
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Vereinigung abzählbarer Mengen)
Beweisen Sie, dass die Vereinigung abzählbar unendlich vieler abzählbar unendlicher Mengen ebenfalls abzählbar unendlich ist.
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Abzählbare Teilmengen I)
Beweisen Sie, dass jede nichtleere Teilmenge der natürlichen Zahlen endlich oder abzählbar unendlich ist. Benutzen Sie dabei folgendes Wohlordnungsprinzip: Jede nichtleere Menge natürlicher Zahlen besitzt ein kleinstes Element.
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Abzählbare Teilmengen II)
Beweisen Sie, dass jede nichtleere Teilmenge einer abzählbar unendlichen Menge \( M \) endlich oder abzählbar unendlich ist.
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Abzählbarkeit endlicher Teilmengen von \( \mathbb N \))
Beweisen Sie, dass die Menge aller endlichen Teilmengen von \( \mathbb N \) abzählbar unendlich ist.
Aufgabe (Die rationalen Zahlen - Galileis Paradoxon)
Einerseits gibt es weniger Quadratzahlen, d.h. Zahlen der Form \( n^2 \) mit \( n\in\mathbb N, \) als natürliche Zahlen, da alle Quadratzahlen natürlich sind, aber z.B. die Zahl \( 3 \) keine Quadratzahl ist. Andererseits, so argumentierte Galileo Galilei, gibt es genauso viele Quadratzahlen wie natürliche Zahlen. Wie könnte er argumentiert haben? Gibt es einen Widerspruch?