Abschnitt 2.4: Einführung in die Körpertheorie
Leitfaden für die 4. Präsenzübung
| \( \circ \) | Erste Form der Cauchy-Schwarz-Ungleichung |
| \( \circ \) | Abgeleitete Ungleichungen I |
| \( \circ \) | Abgeleitete Ungleichungen II |
| \( \circ \) | Eigenschaften des Absolutbetrags I |
| \( \circ \) | Eigenschaften des Absolutbetrags II |
Leitfaden für das 4. Tutorium
| \( \circ \) | Folgerung aus dem Archimedischen Axiom I |
| \( \circ \) | Folgerung aus dem Archimedischen Axiom II |
| \( \circ \) | Folgerung aus dem Archimedischen Axiom III |
| \( \circ \) | Betragsgleichungen |
| \( \circ \) | Betragsungleichungen |
| \( \circ \) | Beweis der Dreiecksungleichung |
| \( \circ \) | Produkt beschränkter Zahlentripel |
Definition eines Körpers
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Zum neutralen Element der Addition)
Es sei \( \mathbb K \) ein Körper. Beweisen Sie, dass das neutrale Element \( 0\in\mathbb K \) der Addition eindeutig ist.
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Zum neutralen Element der Multiplikation)
Es sei \( \mathbb K \) ein Körper. Beweisen Sie, dass das neutrale Element \( 1\in\mathbb K \) der Multiplikation eindeutig ist.
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Natürliche und ganze Zahlen)
Begründen Sie durch ein Gegenbeispiel, dass es sich bei folgenden Zahlenbereichen nicht um einen Körper handelt.
| (i) | die Menge \( \mathbb N \) der natürlichen Zahlen |
| (ii) | die Menge \( \mathbb Z \) der ganzen Zahlen |
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Die rationalen Zahlen als Körper)
Beweisen Sie, dass es sich bei der Menge \( \mathbb Q \) der rationalen Zahlen um einen Körper handelt.
Rechnen in Körpern
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Minimalkörper mit zwei Elementen)
Beweisen Sie, dass die Menge \( \{0,1\} \) zusammen mit den Verknüpfungen
| \( + \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 0 \) |
| \( \times \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
einen Körper bildet. Was sind insbesondere das neutrale und das inverse Element?
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Körper mit drei Elementen)
Beweisen Sie, dass die Menge \( \{0,1,2\} \) zusammen mit den Verknüpfungen
| \( + \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 2 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 2 \) |
| \( 1 \) | \( 1 \) | \( 2 \) | \( 0 \) |
| \( 2 \) | \( 2 \) | \( 0 \) | \( 1 \) |
| \( \times \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 2 \) |
| \( 0 \) | \( 0 \) | \( 0 \) | \( 2 \) |
| \( 1 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 2 \) |
| \( 2 \) | \( 0 \) | \( 2 \) | \( 1 \) |
einen Körper bildet. Was sind insbesondere das neutrale und das inverse Element?
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Ausführbarkeit der Subtraktion in Körpern)
Es sei \( \mathbb K \) ein Körper. Beweisen Sie, dass für alle \( x,y\in\mathbb K \) die Gleichung \[ x+z=y \] die eindeutige Lösung \( z=y-x:=y+(-x) \) besitzt.
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Ausführbarkeit der Division in Körpern)
Es sei \( \mathbb K \) ein Körper. Beweisen Sie, dass für alle \( x,y\in\mathbb K \) mit \( x\not=0 \) die Gleichung \[ x\cdot z=y \] die eindeutige Lösung \( z=y\cdot x^{-1} \) besitzt.
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Kürzungsregel der Addition in Körpern)
Es seien \( \mathbb K \) ein Körper und \( x,y\in\mathbb K. \) Beweisen Sie: \[ x+z=y+z\ \text{für ein}\ z\in\mathbb K\ \text{genau dann, wenn}\ x=y. \]
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Kürzungsregel der Multiplikation in Körpern)
Es seien \( \mathbb K \) ein Körper und \( x,y\in\mathbb K. \) Beweisen Sie: \[ x\cdot z=y\cdot z\ \text{für ein}\ z\in\mathbb K\setminus\{0\}\ \text{dann}\ x=y. \] Die Umkehrung gilt für alle \( z\in\mathbb K. \)
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Multiplikation mit \( 0 \) in Körpern)
Es sei \( \mathbb K \) ein Körper. Beweisen Sie die Richtigkeit von \[ x\cdot 0=0\quad\text{für alle}\ x\in\mathbb K. \]
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Multiplikation mit \( -1 \) in Körpern)
Es sei \( \mathbb K \) ein Körper. Beweisen Sie die Richtigkeit von \[ x\cdot(-1)=(-x)=-x\quad\text{für alle}\ x\in\mathbb K. \]
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Das Inverse des Inversen I)
Es sei \( \mathbb K \) ein Körper. Beweisen Sie die Richtigkeit von \[ -(-x)=x\quad\text{für alle}\ x\in\mathbb K. \]
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Das Inverse des Inversen II)
Es sei \( \mathbb K \) ein Körper. Beweisen Sie die Richtigkeit von \[ (x^{-1})^{-1}=x\quad\text{für alle}\ x\in\mathbb K\setminus\{0\}. \]
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Das Produkt verschwindet nicht)
Es sei \( \mathbb K \) ein Körper. Beweisen Sie die Richtigkeit von \[ x\cdot y\not=0\quad\text{für alle}\ x,y\in\mathbb K\setminus\{0\}\,. \]
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Das Produkt verschwindet)
Es sei \( \mathbb K \) ein Körper. Beweisen Sie die Richtigkeit von \[ x\cdot y=0\quad\text{genau dann, wenn}\quad x=0\ \mbox{oder}\ y=0. \]
Angeordnete Körper
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Regeln der Anordnungsrelation)
Es sei \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper mit der Anordnungsrelation \( \lt. \) Beweisen Sie:
| (i) | \( \lt \) ist transitiv, d.h. |
\[ x\lt y\ \text{und}\ y\lt z\quad\text{impliziert}\quad x\lt z; \]
| (ii) | \( \lt \) ist monoton bez. der Addition, d.h. |
\[ x\lt y\quad\text{impliziert}\quad x+z\lt y+z; \]
| (iii) | \( \lt \) ist monoton bez. der Multiplikation, d.h. |
\[ x\lt y\ \text{und}\ 0\lt z,\quad\text{dann}\quad x\cdot z\lt y\cdot z; \]
| (iv) | \( \lt \) wirkt nach Vorzeichenumkehr wie folgt |
\[ x\lt y\quad\text{impliziert}\quad -y\lt -x. \] Formulieren und beweisen Sie entsprechende Regeln für \( \le, \) \( \gt \) und \( \ge. \)
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Folgerungen aus den Anordnungsaxiomen)
Es sei \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper. Beweisen Sie:
| (i) | Für alle \( x,y\in\mathbb K \) gilt |
\[ x\cdot y\gt 0,\quad\text{dann}\quad x,y\gt 0\ \text{oder}\ x,y\lt 0. \]
| (ii) | Für alle \( x,y\in\mathbb K \) gilt |
\[ x\cdot y\lt 0,\quad\text{dann}\ x\gt 0,\ y\lt 0\ \text{oder}\ x\lt 0,\ y\gt 0. \]
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - \( \mathbb Q \) ist angeordnet)
Beweisen Sie, dass der Körper \( \mathbb Q \) angeordnet ist.
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Erste Form der Cauchy-Schwarz-Ungleichung)
Es sei \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper. Beweisen Sie die Ungleichung \[ 2xy\le x^2+y^2\quad\text{für alle}\ x,y\in\mathbb K. \]
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Abgeleitete Ungleichungen I)
Es sei \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper. Beweisen Sie, dass für alle \( x,y,z\in\mathbb K \) mit \( z\not=0 \) richtig ist \[ 2xy\le\frac{x^2}{z^2}+y^2z^2\,. \]
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Abgeleitete Ungleichungen II)
Sei \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper. Beweisen Sie, dass für alle \( x,y\in\mathbb K \) richtig ist \[ xy\le\left(\frac{x+y}{2}\right)^2\,. \]
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Abgeleitete Ungleichungen III)
Sei \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper. Beweisen Sie, dass für alle \( x,y\in\mathbb K \) mit \( x,y\ge 0 \) und \( x+y\lt 1 \) gilt \[ (1+x)(1+y)\le\frac{1}{1-(x+y)}\,. \]
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Eine weitere Ungleichung)
Es sei \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper. Beweisen Sie, dass für alle \( x,y,z,w\in\mathbb K \) mit \( y\gt 0, \) \( w\gt 0 \) und \( \frac{x}{y}\lt\frac{z}{w} \) richtig ist \[ \frac{x}{y}\lt\frac{x+z}{y+w}\lt\frac{z}{w}\,. \]
Das Archimedische Axiom
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Folgerung aus dem Archimedischen Axiom I)
Beweisen Sie, dass für jedes \( p\in\mathbb Q \) ein \( n\in\mathbb N \) existiert mit \( n\gt p. \)
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Folgerung aus dem Archimedischen Axiom II)
Es sei \( p\ge 0 \) eine rationale Zahl mit der Eigenschaft \[ p\le\frac{1}{n}\quad\text{für alle}\ n\in\mathbb N. \] Beweisen Sie, dass dann folgt \( p=0. \)
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Folgerung aus dem Archimedischen Axiom III)
Für zwei rationale Zahlen \( p,q\in\mathbb Q \) gelte \[ p\le q+\frac{1}{n}\quad\text{für alle}\ n\in\mathbb N. \] Beweisen Sie, dass dann folgt \( p\le q. \)
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - \( \mathbb Q \) ist archimedisch angeordnet)
Beweisen Sie, dass der Körper \( \mathbb Q \) der rationalen Zahlen archimedisch angeordnet ist.
Der Absolutbetrag
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Eigenschaften des Absolutbetrags I)
Es sei \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper. Beweisen Sie \[ |x|\ge 0\quad\text{für alle}\ x\in\mathbb K. \]
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Eigenschaften des Absolutbetrags II)
Es seien \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper und \( a\in\mathbb K \) mit \( a\gt 0. \) Beweisen Sie \[ |x|\le a\quad\text{genau dann, wenn}\quad -a\le x\le a. \]
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Eigenschaften des Absolutbetrags III)
Es sei \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper. Beweisen Sie \[ |x\cdot y|=|x|\cdot|y|\quad\text{für alle}\ x,y\in\mathbb K. \]
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Eigenschaften des Absolutbetrags IV)
Es sei \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper. Beweisen Sie \[ \left|\frac{1}{x}\right|=\frac{1}{|x|}\quad\text{für alle}\ x\in\mathbb K\setminus\{0\}. \]
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Eigenschaften des Absolutbetrags V)
Es sei \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper. Beweisen Sie \[ x^2=(-x)^2=|x|^2\quad\text{für alle}\ x\in\mathbb K. \]
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Betragsgleichungen)
Es sei \( \mathbb R \) der angeordnete Körper der (noch einzuführenden) reellen Zahlen. Bestimmen Sie alle \( x\in\mathbb R, \) welche folgenden Betragsgleichungen genügen.
| (i) | \( |x-2|-2x=4 \) |
| (ii) | \( |4x+48|=72 \) |
| (iii) | \( |x-1|+|x+2|=16 \) |
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Weitere Betragsgleichungen)
Es sei \( \mathbb R \) der angeordnete Körper der (noch einzuführenden) reellen Zahlen. Bestimmen Sie alle \( x\in\mathbb R, \) welche folgenden Betragsgleichungen genügen.
| (i) | \( |2x+3|=7 \) |
| (ii) | \( |2x+5|=7 \) |
| (iii) | \( |3x+9|=12 \) |
| (iv) | \( |x-1|=3x-3 \) |
| (v) | \( |3x+7|=11x-9 \) |
| (vi) | \( |2x-7|=8x-25 \) |
| (vii) | \( |x-11|=75-17x \) |
| (viii) | \( |x-1|+|x+5|=6 \) |
| (ix) | \( |2x+1|+|x-10|=27 \) |
| (x) | \( |3x+5|+|2x-15|=35 \) |
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Betragsungleichungen)
Es sei \( \mathbb R \) der angeordnete Körper der (noch einzuführenden) reellen Zahlen. Bestimmen Sie alle \( x\in\mathbb R, \) welche folgenden Betragsungleichungen genügen.
| (i) | \( |x-1|\le 8 \) |
| (ii) | \( |x-1|\le 3x-3 \) |
| (iii) | \( |x+1|\ge x+2 \) |
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Weitere Betragsungleichungen)
Es sei \( \mathbb R \) der angeordnete Körper der (noch einzuführenden) reellen Zahlen. Bestimmen Sie alle \( x\in\mathbb R, \) welche folgenden Betragsungleichungen genügen.
| (i) | \( |x+2|\le 3 \) |
| (ii) | \( |x-7|\le 17 \) |
| (iii) | \( |2x-3|\ge 5 \) |
| (iv) | \( |2x-1|\le 2x+1 \) |
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Beweis der Dreiecksungleichung)
Es sei \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper. Beweisen Sie \[ |x+y|\le|x|+|y|\quad\text{für alle}\ x,y\in\mathbb K. \]
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Beweis der inversen Dreiecksungleichung)
Es sei \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper. Beweisen Sie \[ |x-y|\ge\big||x|-|y|\big|\quad\text{für alle}\ x,y\in\mathbb K. \]
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Eine Verallgemeinerung der Dreiecksungleichung)
Es sei \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper. Beweisen Sie:
| (i) | Es gilt |
\[ |a+b+c|\le|a|+|b|+|c|\quad\text{für alle}\ a,b,c\in\mathbb K. \]
| (ii) | Ist \( n\ge 1 \) eine natürliche Zahl, und sind \( a_i\in\mathbb K \) für alle \( i=1,\ldots,n, \) so gilt |
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Produkt beschränkter Zahlentripel)
Es seien \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper und \( a,b,c,x,y,z\in\mathbb K \) mit \[ a^2+b^2+c^2\le 1,\quad x^2+y^2+z^2\le 1. \] Beweisen Sie, dass dann gilt \[ |ax+by+cz|\le 1. \]
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Eine schwierige Betragsungleichung)
Es sei \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper. Beweisen Sie, dass für alle \( x,y,z\in\mathbb K \) gilt \[ |x|+|y|+|z|-|x+y|-|y+z|-|z+x|+|x+y+z|\ge 0. \]
Aufgabe (Einführung in die Körpertheorie - Summen und Produkte)
Es sei \( \mathbb K \) ein angeordneter Körper. Beweisen Sie: Ist \( n\ge 2 \) eine natürliche Zahl, und sind \( x_i\in\mathbb K \) mit \( |x_i|\lt 1 \) für alle \( i=1,\ldots,n, \) so gilt die Ungleichung \[ \sum_{i=1}^nx_i^2\ge n\prod_{i=1}^nx_i\,. \]