Abschnitt 3.1: Einführung der reellen Zahlen
Leitfaden für die 5. Präsenzübung
| \( \circ \) | ... |
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Leitfaden für das 5. Tutorium
| \( \circ \) | ... |
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Nichtauflösbarkeit von \( x^2 \)
Aufgabe (Einführung der reellen Zahlen - \( \sqrt{2} \) ist nicht rational)
Beweisen Sie, dass es keine rationale Zahl \( x\in\mathbb Q \) gibt mit \[ x^2=2. \]
Aufgabe (Einführung der reellen Zahlen - \( \sqrt{3} \) ist nicht rational)
Beweisen Sie, dass es keine rationale Zahl \( x\in\mathbb Q \) gibt mit \[ x^2=3. \] Verwenden Sie dazu, wie auch in den nachfolgenden Aufgaben, den Fundamentalsatz der Elementaren Zahlentheorie.
Aufgabe (Einführung der reellen Zahlen - \( \sqrt{6} \) ist nicht rational)
Beweisen Sie, dass es keine rationale Zahl \( x\in\mathbb Q \) gibt mit \[ x^2=6. \]
Aufgabe (Einführung der reellen Zahlen - Summe von Wurzeln)
Beweisen Sie, dass folgende Zahlen nicht rational sind.
| (i) | \( \sqrt{2}+\sqrt{6} \) |
| (ii) | \( \sqrt{2}+\sqrt{3} \) |
Aufgabe (Einführung der reellen Zahlen - Dedekinds Verallgemeinerung)
Beweisen Sie: Ist \( k\in\mathbb N \) keine Quadratzahl, d.h. gilt nicht \( k=a^2 \) mit einem \( a\in\mathbb N, \) so ist \( \sqrt{k} \) nicht rational.
Approximation von \( \sqrt{2} \)
Aufgabe (Einführung der reellen Zahlen - Beispiele von Dezimalentwicklungen)
Geben Sie die Koeffizienten \( a_0,a_1,\ldots,a_5\in\{0,1,\ldots,9\} \) in \[ a_0+\frac{a_1}{10}+\frac{a_2}{10^2}+\frac{a_3}{10^3}+\frac{a_4}{10^4}+\ldots \] f\"ur die folgenden nichtrationalen Zahlen an.
| (i) | Länge der Diagonalen des Einheitsquadrats \( \sqrt{2} \) |
| (ii) | Eulersche Zahl \( e \) |
| (iii) | Kreiszahl \( \pi \) |
Aufgabe (Einführung der reellen Zahlen - Geometrische Reihen geometrisch I)
Verifizieren Sie die geometrische Summenformel \[ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^nq^k=\frac{1}{1-q}\,,\quad q\in(0,1), \] anhand der folgenden Skizze unter Verwendung bekannter elementargeometrischer Gesetze. Benutzen Sie dabei die Ähnlichkeit \[ \triangle(PQR)\approx\triangle(TSP) \] der Dreiecke \( \triangle(PQR) \) und \( \triangle(TSP). \)
(Grafik nach R.B. Nelson, Seite 120)
Dieser und die nachfolgenden Grenzwerte können dabei mit dem Schulwissen ermittelt werden. Zu beachten ist \[ \lim_{n\to\infty}q^n=0 \] für \( 0\lt q\lt 1, \) wie wir später begründen werden. Eine detaillierte Theorie der Grenzwerte erarbeiten wir uns in Kürze.
Aufgabe (Einführung der reellen Zahlen - Geometrische Reihen geometrisch II)
| (i) | Bestimmen Sie grafisch den Grenzwert |
\[ \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{2^k} \]
| durch eine geeignete Unterteilung des Einheitsintervalls. | |
| Wie Aufgabenteil (i), jetzt aber für den Grenzwert |
\[ \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{4^k} \] anhand folgender Skizze:
(Grafik nach R.B. Nelson, Seite 121)
Aufgabe (Einführung der reellen Zahlen - Die Cantorsche Mittel-Drittel-Menge)
Betrachten Sie den folgenden rekursiven Konstruktionsprozess:
| 1. | Beginne mit einer geraden Strecke der Länge \( 1 \) (Menge \( C_0 \)) |
| 2. | Lösche das mittlere Drittel (ohne die beiden Randpunkte; Menge \( C_1\)) |
| 3. | Lösche vom Verbliebenen die mittleren Drittel (ohne die Randpunkte; Menge \( C_2 \)) |
Die Cantorsche Mittel-Dritte-Menge \( C\subset\mathbb R \) ist dann definiert als der Durchschnitt \[ C:=C_0\cap C_1\cap C_2\cap C_3\cap\ldots \] Welche Längen besitzen \( C_0, \) \( C_1, \) \( C_2 \) usw. sowie \( C \) selbst?
Aufgabe (Einführung der reellen Zahlen - Die Kochsche Schneeflocke)
Betrachten Sie den folgenden rekursiven Prozess:
| 1. | Beginne mit einer geraden Strecke der Länge \( 1. \) |
| 2. | Ersetze das mittlere Drittel dieser Strecke durch ein gleichseitiges Dreieck (ohne Basis). |
| 3. | Wende diese Vorschrift auf die vier neuen Strecken der Länge \( \frac{1}{3} \) an usw. |
Diese Vorschrift wird nun auf die drei Seiten der gemeinsamen Länge \( 1 \) eines gleichseitigen Dreiecks angewandt. Die Kochsche Schneeflocke ergibt sich dann als „Grenzfigur nach unendlich vielen Iterationen“:
Berechnen Sie Umfang und eingeschlossenen Inhalt der Kochschen Schneeflocke.
Aufgabe (Einführung der reellen Zahlen - Eine weitere Aufgabe mit vollständiger Induktion)
Es sei \( n\in\mathbb N. \) Beweisen Sie vermittels vollständiger Induktion \[ \sum_{k=1}^n\frac{k}{2^k}=2-\frac{n+2}{2^n}\,. \]
Aufgabe (Einführung der reellen Zahlen - Verallgemeinerung der vorigen Aufgabe)
Es sei \( n\in\mathbb N. \) Wir setzen \[ S:=\sum_{k=1}^n\frac{k^2}{2^k}\,. \] Verifizieren Sie \[ 2S=1-\frac{(n+1)^2}{2^n}+\sum_{k=1}^n\frac{(k+1)^2}{2^k}\,, \] und ermitteln Sie damit einen expliziten Ausdruck für \( S. \)
Aufgabe (Einführung der reellen Zahlen - Noch eine Verallgemeinerung)
Ermitteln Sie einen expliziten Ausdruck für die Summe \[ S:=\sum_{k=1}^n\frac{k^3}{2^k}\,. \]
Aufgabe (Einführung der reellen Zahlen - Verallgemeinerung zu einer Rekursionsformel)
Wir betrachten die Summe \[ S_\beta:=\sum_{k=1}^n\frac{k^\beta}{2^k}\,,\quad n\in\mathbb N. \] Beweisen Sie, dass folgende rekursive Darstellung richtig ist \[ S_\beta=1+\sum_{\alpha=0}^\beta\binom{\beta}{\alpha}\left(S_\alpha-\frac{n^\alpha}{2^n}\right)-\frac{n^\beta}{2^n}\,,\quad\beta=1,2,3,\ldots \]
Aufgabe (Einführung der reellen Zahlen - Rationale Cauchyfolgen oder nicht)
Handelt es sich bei den folgenden Zahlenfolgen um rationale Cauchyfolgen? Begründen Sie.
| (i) | \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( \displaystyle x_n:=\frac{1}{n} \) |
| (ii) | \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( \displaystyle x_n:=n \) |
| (iii) | \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( \displaystyle x_n:=\frac{n}{1+n^2} \) |
| (iv) | \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( \displaystyle x_n:=\frac{n}{1+\frac{1}{n^2}} \) |
Aufgabe (Einführung der reellen Zahlen - Beispiel einer rekursiven Zahlenfolge)
Betrachten Sie die folgende rekursiv gegebene, rationale Zahlenfolge \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) vermöge \[ x_1:=1,\quad x_{n+1}:=\frac{1}{1+x_n}\ \mbox{für}\ n=1,2,3,\ldots \]
| (i) | Ermitteln Sie \( x_n \) für \( n=1,2,3,4,5. \) |
| (ii) | Beweisen Sie |
\[ \frac{1}{2}\le x_n\le 1\quad\mbox{für alle}\ n=1,2,\ldots \]
| (iii) | Schließen Sie daraus |
\[ |x_{n+1}-x_n|\le\left(\frac{4}{9}\right)^{n-1}|x_2-x_1|\quad\mbox{für alle}\ n=1,2,3,\ldots \]
| (iv) | Leiten Sie damit her |
\[ |x_{n+k}-x_n|\le 2\left(\frac{4}{9}\right)^{n-1}|x_2-x_1|\quad\mbox{für alle}\ k,n=1,2,3,\ldots \]
| (v) | Beweisen Sie nun, dass \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) eine rationale Cauchyfolge ist. |
Definition der reellen Zahlen
Aufgabe (Einführung der reellen Zahlen - Rationale Nullfolgen)
Handelt es sich im Folgenden um rationale Nullfolgen? Begr\"unden Sie, der Definition folgend.
| (i) | \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb Q \) mit \( \displaystyle x_n:=\frac{1}{n} \) |
| (ii) | \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb Q \) mit \( \displaystyle x_n:=\frac{1}{1+n^2} \) |
| (iii) | \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( \displaystyle x_n:=\frac{(-1)^n}{1+2n} \) |
| (iv) | \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( \displaystyle x_n:=\frac{n^2}{4+2n^2} \) |
Aufgabe (Einführung der reellen Zahlen - Beweise zu rationalen Nullfolgen I)
Sind \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb Q \) eine Nullfolge und \( c\in\mathbb Q, \) so ist auch \[ \{c\cdot x_n\}_{n=1,2,\ldots} \] eine rationale Nullfolge.
Aufgabe (Einführung der reellen Zahlen - Beweise zu rationalen Nullfolgen II)
Gibt es eine rationale Nullfolge \( \{y_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb Q, \) so dass \( |x_n|\le|y_n| \) für alle \( n=1,2,\ldots, \) so ist auch \[ \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb Q \] eine rationale Nullfolge.
Aufgabe (Einführung der reellen Zahlen - Äquivalenzrelation der reellen Zahlen)
Beweisen Sie, dass \( \sim_{\mathbb R} \) eine Äquivalenzrelation darstellt.
Einbettung der rationalen Zahlen in die reellen Zahlen
Aufgabe (Einführung der reellen Zahlen - Rationale Zahlen als reelle Zahlen)
Schreiben Sie die folgenden rationalen Zahlen als rationale Zahlenfolge, die also eine reelle Zahl innerhalb der Menge \( \mathbb R \) repräsentiert.
| (i) | \( x=1 \) |
| (ii) | \( \displaystyle x=\frac{1}{3} \) |