Abschnitt 3.2: Eigenschaften reeller Zahlen I
Leitfaden für die 5. Präsenzübung
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Leitfaden für das 5. Tutorium
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Beschränktheit rationaler Cauchyfolgen
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Gegenbeispiele für rationale Cauchyfolgen)
Führen Sie einen Widerspruchsbeweis mit Hilfe des Satzes über deren Beschränktheit, um zu zeigen, dass es sich bei den folgenden Zahlenfolgen nicht um rationale Cauchyfolgen handelt.
| (i) | \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( x_n:=n \) |
| (ii) | \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( \displaystyle x_n:=\frac{n^2+1}{n+1} \) |
| (iii) | \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( x_n:=2^n \) |
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Majoranten rationaler Cauchyfolgen)
Betrachten Sie die Zahlenfolge \[ \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\quad\mbox{vermöge}\quad x_n:=\frac{7(n+1)}{n^2+1}\,. \]
| (i) | Verifizieren Sie, dass es sich um eine reelle Cauchyfolge handelt. |
| (ii) | Bestimmen Sie ein \( N(1)\in\mathbb N, \) so dass gilt |
\[ |x_m-x_n|\lt 1\quad\mbox{für alle}\ m,n\ge N(1). \]
| (iii) | Berechnen Sie damit die im Beweis des Satzes des Paragraphens angegebene Majorante \( C\gt 0. \) |
Addition und Multiplikation
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Rationale Cauchyfolgen unter Addition)
Es seien \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) und \( \{y_n\}_{n=1,2,\ldots} \) zwei rationale Cauchyfolgen. Beweisen Sie, dass dann auch \[ \{x_n+y_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb Q \] eine rationale Cauchyfolge ist.
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Rationale Cauchyfolgen unter Multiplikation)
Es seien \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) und \( \{y_n\}_{n=1,2,\ldots} \) zwei rationale Cauchyfolgen. Beweisen Sie, dass dann auch \[ \{x_n\cdot y_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb Q \] eine rationale Cauchyfolge ist.
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Wohldefiniertheit der Multiplikation)
Es seien \[ \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\,,\quad \{\widetilde x_n\}_{n=1,2,\ldots}\,,\quad \{y_n\}_{n=1,2,\ldots}\,,\quad \{\widetilde y_n\}_{n=1,2,\ldots} \] rationale Cauchyfolgen mit \[ \begin{array}{l} \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\sim_{\mathbb R}\{\widetilde x_n\}_{n=1,2,\ldots}\,, \\[1ex] \{y_n\}_{n=1,2,\ldots}\sim_{\mathbb R}\{\widetilde y_n\}_{n=1,2,\ldots} \end{array} \] Beweisen Sie, dass dann gilt \[ \{x_n\cdot y_n\}_{n=1,2,\ldots}\sim_{\mathbb R}\{\widetilde x_n\cdot\widetilde y_n\}_{n=1,2,\ldots} \]
Ordnungsstruktur der reellen Zahlen
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Vorzeichentyp rationaler Cauchyfolgen)
Entscheiden Sie, ob die folgenden rationalen Cauchyfolgen vom Typ \( R^+ \) oder \( R^- \) sind oder eine Nullfolge darstellen.
| (i) | \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( \displaystyle x_n=\frac{2n}{n+1} \) |
| (ii) | \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots} \) mit \( \displaystyle x_n=\frac{5(-1)^n}{n+2}+1 \) |
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Wohldefiniertheit des Vorzeichens reeller Zahlen)
Beweisen Sie, dass die Eigenschaft \[ x\gt 0\quad\mbox{oder}\quad x\lt 0\quad\mbox{oder}\quad x=0 \] einer reellen Zahl \( x=[x_n]_{\mathbb R}\in\mathbb R \) wohldefiniert, d.h. unabhängig von der Wahl des Repräsentanten \( \{x_n\}_{n=1,2,\ldots}\subset\mathbb Q \) ist.
Reelle Zahlenintervalle
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Intervallrechnen)
Vereinfache Sie:
| (i) | \( (-1,0)\cup[0,3) \) |
| (ii) | \( (-3,-1)\cup(-2,0] \) |
| (iii) | \( (-3,0)\cup\{0\}\cup(0,3) \) |
| (iv) | \( (-\infty,-1]\cup[-2,10) \) |
| (v) | \( (-\infty,-1]\cup[-2,\infty) \) |
| (vi) | \( \big[(-1,2)\cup(1,4)\big]\setminus\{8\} \) |
| (vii) | \( \big[(-2,1)\cup(0,7)\big]\cap(3,4) \) |
| (viii) | \( \big[(-4,3)\cup(1,8)\big]\cap(-3,-1] \) |
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Auflösen von Ungleichungen)
Bestimmen Sie alle \( x\in\mathbb R, \) welche den folgenden Ungleichungen genügen.
| (i) | \( x+2\lt x+5 \) |
| (ii) | \( 2x+3\lt 3x-1 \) |
| (iii) | \( 3x-2\le 7+2x \) |
| (iv) | \( 3x-50\gt 12x+76 \) |
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Auflösen von Ungleichungen)
Bestimmen Sie alle \( x\in\mathbb R, \) welche den folgenden Betragsungleichungen genügen.
| (i) | \( |x|\lt 3 \) |
| (ii) | \( |x|\le 3 \) |
| (iii) | \( |x|\ge 2 \) |
| (iv) | \( |x-1|\ge 2 \) |
| (v) | \( |x-4|\lt 1 \) |
| (vi) | \( 0\lt|x-1|\lt 2 \) |
| (vii) | \( \big||x|+1\big|\ge 3 \) |
| (viii) | \( \big||x-1|-3\big|\lt 2 \) |
| (ix) | \( |x+2|\lt|x+1| \) |
| (x) | \( |x-1|\ge|x+2| \) |
Die multiplikative Inverse
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Additive Inverse einer reellen Zahl)
Beweisen Sie \[ x+(-x)=(-x)+x=0\quad\mbox{für alle}\ x\in\mathbb R. \]
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Multiplikative Inverse einer reellen Zahl)
Es sei \( x\in[x_n]_{\mathbb R}\in\mathbb R \) eine reelle Zahl mit \( x_n\not=0 \) für alle \( n=1,2,\ldots \) und \( x\not=0. \) Beweisen Sie \[ x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot x=1. \]
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Wohldefiniertheit der multiplikativen Inversen einer reellen Zahl)
Es seien \( [x_n]_{\mathbb R} \) und \( [y_n]_{\mathbb R} \) äquivalente rationale Cauchyfolgen, die beide keine Nullfolgen sind. Es gelte sogar \[ x_n\not=0,\quad y_n\not=0 \quad\mbox{für alle}\ n=1,2,\ldots \]
| (i) | Beweisen Sie, dass dann auch \( [x_n^{-1}]_{\mathbb R} \) und \( [y_n^{-1}]_{\mathbb R} \) rationale Cauchyfolgen darstellen. |
| (ii) | Beweisen Sie, dass gilt |
\[ [x_n^{-1}]_{\mathbb R}\sim_{\mathbb R}[y_n^{-1}]_{\mathbb R}\,. \]
Die reellen Zahlen als Körper
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Die reellen Zahlen als Körper)
Beweisen Sie, dass die Menge \( \mathbb R \) der reellen Zahlen mit der angegebenen Addition und Multiplikation sowie den Ordnungsrelationen einen Archimedisch angeordneten Körper bildet.
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Die Bernoullische Ungleichung)
Beweisen Sie: Für alle \( n\in\mathbb N \) und für alle reellen Zahlen \( x\ge -1 \) gilt \[ (1+x)^n=(1+x)\cdot\ldots\cdot(1+x)\ge 1+nx. \]
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Folgerung aus der Bernoullischen Ungleichung I)
Es sei \( x\in\mathbb R \) eine reelle Zahl. Beweisen Sie: Ist \( x\gt 1, \) so existiert zu jedem \( K\gt 0 \) ein \( N(K)\in\mathbb N \) mit \[ x^n\gt K\quad\text{für alle}\ n\ge N(K). \]
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Folgerung aus der Bernoullischen Ungleichung II)
Es sei \( x\in\mathbb R. \) Beweisen Sie: Ist \( 0\lt x\lt 1, \) so existiert zu jedem \( \varepsilon\gt 0 \) ein \( N(\varepsilon)\in\mathbb N \) mit \[ y^n\lt\varepsilon\quad\text{für alle}\ n\ge N(\varepsilon). \]
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Folgerung aus der Bernoullischen Ungleichung III)
Wir betrachten die Zahlen \[ a_n:=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\,,\quad n=1,2,\ldots \] Beweisen Sie, dass gilt \[ a_n\lt a_{n+1}\quad\text{für alle}\ n=1,2,\ldots \]
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Verschärfung der Bernoullischen Ungleichung)
Es seien \( n\in\mathbb N \) mit \( n\ge 2 \) und \( x\gt -1 \) reell mit \( x\not=0. \) Beweisen Sie \[ (1+x)^n\gt 1+nx. \]
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Rational oder irrational?)
Es seien \( a,b,c,d\in\mathbb Q \) rationale Zahlen mit \( ad-bc\not=0, \) und es sei \( x\in\mathbb R \) nicht rational. Ferner gelte \( cx+d\not=0. \) Beweisen Sie, dass dann folgender Quotient \[ z:=\frac{ax+b}{cx+d} \] ebenfalls irrational ist (aus S. Hildebrandt, Kapitel 1, Aufgabe 9).
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Auflösen von Ungleichungen mit Brüchen)
Bestimmen Sie alle \( x\in\mathbb R, \) welche den folgenden Ungleichungen genügen.
| (i) | \( \displaystyle\frac{1}{x-2}\le 1 \) |
| (ii) | \( \displaystyle\frac{x+1}{x-1}\lt 2 \) |
| (iii) | \( \displaystyle\frac{2x+1}{2x-1}+\frac{2x-3}{3x-1}\ge 1 \) |
| (iv) | \( \displaystyle\frac{2(3x+2)}{x-1}\gt 7+\frac{2(4x-1)}{x-1} \) |
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Abschätzungen mit Unbekannten)
Beweisen Sie, dass für alle \( 0\le x,y\le 1 \) gelten:
| (i) | \( \displaystyle 0\le\frac{y-x}{1-xy}\le 1 \) |
| (ii) | \( \displaystyle 0\le\frac{x}{1+y}+\frac{y}{1+x}\le 1 \) |
| (iii) | \( \displaystyle 0\le xy^2-yx^2\le\frac{1}{4} \) |
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Quadratische Ergänzungen und mehr)
Beweisen Sie die Richtigkeit folgender Ungleichungen.
| (i) | \( \displaystyle 1+x\ge 2\,\sqrt{x} \) für alle \( x\ge 0 \) |
| (ii) | \( \displaystyle x+\frac{1}{x}\ge 2 \) für alle \( x\gt 0 \) |
| (iii) | \( \displaystyle x^2+y^2\ge 2xy \) für alle \( x,y\in\mathbb R \) |
| (iv) | \( \displaystyle 2(x^2+y^2)\ge(x+y)^2 \) für alle \( x,y\in\mathbb R \) |
| (v) | \( \displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y} \) für alle \( x,y\gt 0 \) |
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Erste Übung zu schwierigen Ungleichungen)
Beweisen Sie, dass für \( a\ge b \) und \( x\ge y \) stets gilt \[ ax+by\ge ay+bx. \]
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Eine anspruchsvolle Abschätzung)
Beweisen Sie, dass für alle \( a,b,c,d\in\mathbb R \) mit \( a+d=b+c \) gilt \[ (a-b)(c-d)+(a-c)(b-d)+(d-a)(b-c)\ge 0. \]
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Zwei weitere schwierige Abschätzungen)
Beweisen Sie die folgenden Ungleichungen.
| (i) | \( \displaystyle\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge 8 \) für alle \( x,y\gt 1 \) |
| (ii) | \( \displaystyle\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z} \) für alle \( x,y,z\gt 0 \) |
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Die Ungleichung von Tschebyscheff)
| (i) | Beweisen Sie, dass für alle \( x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n\in\mathbb R \) gilt |
\[ \begin{array}{l} \displaystyle \sum_{i,k=1}^n(x_i-x_k)(y_i-y_k) \\[2ex] \quad\displaystyle =\,2\left\{n\cdot\sum_{i=1}^nx_iy_i-\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)\left(\sum_{i=1}^ny_i\right)\right\}. \end{array} \]
| (ii) | Seien nun \( x_1\ge x_2\ge\ldots\ge x_n \) und \( y_1\ge y_2\ge\ldots\ge y_n. \) Folgern Sie |
\[ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}\cdot\frac{y_1+y_2+\ldots+y_n}{n} \\[2ex] \displaystyle\quad \le\,\frac{x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_ny_n}{n} \end{array} \] (aus H. Heuser, Kapitel 12, Aufgabe 7)
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Wissenschaft und Fortschritt, Aufgabe 20/82)
Die drei reellen Zahlen \( x,y,z\in\mathbb R \) genügen \[ x^2+xy+xz\lt 0. \] Beweisen Sie, dass dann richtig ist \[ y^2\gt 4xz. \]
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Wissenschaft und Fortschritt, Aufgabe 24/77)
Geben seien \( n \) Brüche \( \frac{a_i}{b_i}, \) \( i=1,\ldots,n, \) die sämtlich in einem Intervall \( I=[a,b] \) liegen, und deren Nenner \( b_i \) sämtlich positiv sind. Beweisen Sie \[ a\le\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^na_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^nb_i}\le b. \]
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Wissenschaft und Fortschritt, Aufgabe 26/69)
Beweisen Sie, dass für alle \( x,y,z\in(0,\infty) \) richtig ist \[ x+y+z\le\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}\,. \]
Der binomische Lehrsatz
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Rechenübung zum binomischen Lehrsatz I)
Ermitteln Sie unter Verwendung des binomischen Lehrsatzes
| (i) | \( (a+b)^2 \) |
| (ii) | \( (a-b)^3 \) |
| (iii) | \( (a-b)^4 \) |
| (iv) | \( (a+b)^5 \) |
| (v) | \( (a-x)^6 \) |
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Binomischer Lehrsatz und Summenausdrücke I)
Beweisen Sie die folgenden Identitäten unter Verwendung des binomischen Lehrsatzes und ohne vollständige Induktion.
| (i) | \( \displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}=2^n \) |
| (ii) | \( \displaystyle\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}=0 \) |
| (iii) | \( \displaystyle\sum_{k=0}^n2^n(-2)^k\binom{n}{k}=(-2)^n \) |
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Binomischer Lehrsatz und Summenausdrücke II)
Beweisen Sie die folgenden Identitäten.
| (i) | \( \displaystyle\sum_{k=0,\ k\ \text{ungerade}}^n\binom{n}{k}=2^{n-1} \) |
| (ii) | \( \displaystyle\sum_{k=0,\ k\ \text{gerade}}^n\binom{n}{k}=2^{n-1} \) |
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Anwendung auf die Differenz von Potenzen)
Beweisen Sie, dass für alle \( k,q\in\mathbb N \) gilt \[ (k+1)^q-k^q=\sum_{r=0}^{q-1}\binom{q}{r}k^r\,. \]
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Eine Rekursionsformel für Potenzsummen)
| (i) | Beweisen Sie zunächst die Identität |
\[ (1+n)^q=\sum_{k=0}^{q-1}\binom{q}{r}S_r(n) \]
| mit den Potenzsummen \( \displaystyle S_r(n):=\sum_{k=0}^nk^r\,, \) \( n\in\mathbb N, \) \( r\in\mathbb N. \) | |
| (ii) | Schließen Sie damit auf die Rekursionsformel |
\[ S_p(n)=\frac{1}{p+1}\left\{(1+n)^{p+1}-\sum_{r=0}^{p-1}\binom{p+1}{r}S_r(n)\right\}. \]
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Die Bernoullische Ungleichung schwächer)
Beweisen Sie unter Benutzung des binomischen Lehrsatzes, dass für alle \( n\in\mathbb N_0 \) und für alle reellen Zahlen \( x\ge 0 \) gilt \[ (1+x)^n\ge 1+nx. \]
Aufgabe (Eigenschaften reeller Zahlen I - Noch eine Anwendung des binomischen Satzes)
Zeigen Sie die Richtigkeit von \[ (1+x)^n\ge\frac{1}{4}\,n^2x^2 \] für alle \( x\in\mathbb R, \) \( x\gt 0 \) und alle \( n\in\mathbb N, \) \( n\ge 2. \)