Das Lebesguesche Integral
Lebesgues Zugang durch Unterteilung der Ordinaten
Wir beginnen mit H. Lebesgues ursprünglicher Idee aus dem Jahre 1904:
Es sei \( f\colon[a,b]\to\mathbb R \) eine beschränkte und Lebesguemessbare Funktion, so dass mit zwei reellen Zahlen \( \alpha,\beta\in\mathbb R \) gilt \[ \alpha\lt f(x)\lt\beta\quad\mbox{für alle}\ x\in\Omega. \] Zerlege nun das Intervall \( [\alpha,\beta]\subset\mathbb R \) wie folgt \[ \alpha=y_0\lt y_1\lt y_2\lt\ldots\lt y_N=\beta,\quad N\in\mathbb N, \] und setze \[ \Omega_k:=\{x\in[a,b]\,:\,y_{k-1}\le f(x)\lt y_k\}\quad\mbox{für}\ k=1,2,\ldots,N. \] Führe nun folgende Lebesguesche Unter- und Obersumme ein \[ \sum_{k=1}^Ny_{k-1}\ell_1^*(\Omega_k),\quad \sum_{k=1}^Ny_k\ell_1^*(\Omega_k). \] Dabei sind die \( \ell_1^*(\Omega_k) \) wohldefiniert, denn nach Voraussetzung ist \( f \) Lebesguemessbar. Andererseits zeigt diese Herangehensweise ganz deutlich die Notwendigkeit einer Theorie der Maße von Mengen, denn es sind ja die Ausdrücke \( \ell_1^*(\Omega_k) \) zunächst überhaupt einzuführen.
Bilde nun das Supremum aller Untersummen und das Infimum aller Obersummen bez. aller möglichen Zerlegungen des Intervalls \( [\alpha,\beta]. \) Die Schranken \( \alpha \) und \( \beta \) „passen sich dabei an“ an den tatsächlichen Funktionsverlauf.