Theorem zu den definitionen 3, 4 und 5

Bedeutung der Theoreme

Darstellung der Theoreme

Theorem 5 (Peano §3P5)

Es seien $a\in{\mathcal P}$ und $k\in{\mathcal F}.$ Dann gilt $(x\in ak)\longleftrightarrow(x\in{\mathcal P}\ \mbox{und es gibt ein}\ y\in k\ \mbox{mit}\ x\in ay).$

Dieses Theorem spielt eine zu Theorem 1 vergleichbare Rolle. Sein Beweis ergibt sich unmittelbar aus Definition 3 der geometrischen Figur $ak.$

Beweis
Es sei $x\in ak.$
1.	$\vdash\ x\in{\mathcal P}$
2.	$\vdash\ \exists\,y\in k\,(x\in ay)$
Es sei $x\in{\mathcal P},$ und es existiere ein $y\in k$ mit $x\in ay.$
3.	$\vdash\ x\in ak$
Damit ist die Behauptung bewiesen. $\quad\Box$

(Def 3)

Theorem 6 (Peano §3P6)

Es seien $a\in{\mathcal P}$ und $k\in{\mathcal F}.$ Dann gilt $(x\in ak)\longleftrightarrow(x\in{\mathcal P}\ \mbox{und es gilt}\ k\cap a'x\not=\emptyset).$

Zur Veranschaulichung dieser Aussage verweisen wir auf voriges Bild zu Theorem 5.

Beweis:
Es sei $x\in ak$
1.	Es ist $x\in{\mathcal P}$	(Th 5)
2.	Es existiert ein $y\in k$ mit $x\in ay$	(Th 5)
3.	Es existiert ein $y\in k$ mit $y\in\{z\in{\mathcal P}\,:\,x\in az\}$	(2)
4.	Es existiert ein $y\in k$ mit $y\in a'x$	(3, Def 1)
5.	Es sind $x\in{\mathcal P}$ und $k\cap a'x\not=\emptyset$	(1, 4)
Es seien $x\in{\mathcal P}$ und $k\cap a'x\not=\emptyset$
6.	Es existiert ein $y\in k\cap a'x$
7.	Es existiert ein $y\in k$ mit $y\in a'x$	(6)
8.	Es existiert ein $y\in k$ mit $y\in\{z\in{\mathcal P}\,:\,x\in az\}$	(7, Def 1)
9.	Es existiert ein $y\in k$ mit $x\in ay$	(8)
10.	Es ist $x\in\{z\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in k\ \mbox{mit}\ z\in ak\}$	(9)
11.	Es ist $x\in ak$	(10, Def 1)
Damit ist der Beweis abgeschlossen. $\quad\Box$

Theorem 7 (Peano §3P7)

Es seien $a\in{\mathcal P}$ und $k\in{\mathcal F}.$ Dann gilt $(x\in a'k)\longleftrightarrow(x\in{\mathcal P}\ \mbox{und es gilt}\ k\cap ax\not=\emptyset).$

Ein beliebig gewählter $x$ der geometrischen Figur $a'k$ erzeugt mit dem Punkt $a$ eine Figur $ax,$ welche mit der Figur $k$ einen nicht leeren Durchschnitt besitzt.

Beweis:
Es sei $x\in a'k$
1.	Es ist $x\in{\mathcal P}$	(Def 4)
2.	Es existiert ein $z\in k$ mit $x\in a'z$	(Def 4)
3.	Es existiert ein $z\in k$ mit $z\in ax$	(2, Def 1)
4.	Es ist $k\cap ax \not=\emptyset$	(3)
Es sei $x\in{\mathcal P},$ und es gelte $k\cap ax\not=\emptyset$
5.	Es existiert ein $z\in k$ mit $z\in ax$
6.	Es existiert ein $z\in k$ mit $x\in\{w\in{\mathcal P}\,:\,z\in aw \}$	(5)
7.	Es existiert ein $z\in k$ mit $x\in a'z$	(6, Def 1)
8.	Es ist $x\in\{y\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ z\in k\ \mbox{mit}\ y\in a'z \}$	(7)
9.	Es ist $x\in a'k$	(8, Def 4)
Damit ist der Beweis abgeschlossen. $\quad\Box$

Theorem 8 (Peano §3P8)

Es seien $a\in{\mathcal P}$ und $k\in{\mathcal F}.$ Dann gilt $(x\in ak')\longleftrightarrow(x\in{\mathcal P}\ \mbox{und es gilt}\ k\cap x'a\not=\emptyset).$

Ein beliebig gewählter Punkt $x$ der geometrischen Figur $ak'$ erzeugt mit dem Punkt $a$ eine Figur $x'a,$ welche mit der Figur $k$ einen nicht leeren Durchschnitt besitzt.

Beweis:
Es sei $x\in ak'.$ Wir zeigen $x\in{\mathcal P}$ und $k\cap x'a\not=\emptyset.$
1.	Es ist $x\in{\mathcal P}$	(Def 5)
2.	Es existiert ein $z\in k$ mit $x\in az'$	(Def 5)
3.	Es existiert ein $z\in k$ mit $a\in xz$	(2, Th 3)
4.	Es existiert ein $z\in k$ mit $z\in x'a$	(3, Th 2)
5.	Es sind $x\in{\mathcal P}$ und $k\cap x'a\not=\emptyset$	(1, 4)
Es sei $x\in{\mathcal P},$ und es gelte $k\cap x'a\not=\emptyset.$ Wir zeigen $x\in ak'.$
6.	Es existiert ein $z\in k$ mit $z\in x'a$
7.	Es existiert ein $z\in k$ mit $a\in xz$	(6, Th 2)
8.	Es existiert ein $z\in k$ mit $x\in az'$	(7, Th 3)
9.	Es ist $x\in\{y\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ z\in k\ \mbox{mit}\ y\in az'\}$	(8)
10.	Es ist $x\in ak'$	(9, Def 5)
Damit ist der Beweis abgeschlossen. $\quad\Box$

Theorem 9 (Peano §3P9)

Es seien $a,b\in{\mathcal P}$ und $k\in{\mathcal F}.$ Dann gilt $(b\in ak)\longleftrightarrow(a\in bk').$

Beweis:
Es sei $b\in ak.$ Wir zeigen $a\in bk'.$
1.	Es ist $b\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in k\ \mbox{mit}\ x\in ay\}$	(Def 3)
2.	Es gibt ein $y\in k$ mit $b\in ay$	(1)
3.	Es gibt ein $y\in k$ mit $a\in by'$	(2, Th 2)
4.	Es ist $a\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in k\ \mbox{mit}\ x\in by'\}$	(3)
5	Es ist $a\in bk'$	(4, Def 5)
Es sei $a\in bk'.$ Wir zeigen $b\in ak.$
6.	Es ist $a\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in k\ \mbox{mit}\ x\in by'\}$	(Def 5)
7.	Es gibt ein $y\in k$ mit $a\in by'$	(6)
8.	Es gibt ein $y\in k$ mit $b\in ay$	(7, Th 3)
9.	Es ist $b\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in k\ \mbox{mit}\ x\in ay\}$	(8)
10.	Es ist $b\in ak$	(9, Def 3)
Damit ist der Beweis abgeschlossen. $\quad\Box$

Theorem 10 (Peano §3P10)

Es seien $a\in{\mathcal P}$ und $h,k\in{\mathcal F}.$ Dann gilt $(h\subseteq k)\longrightarrow(ah\subseteq ak).$

Sind $a$ ein beliebiger Punkt und $h$ sowie $k$ zwei geometrische Figuren, wobei $h$ in $k$ enthalten ist, so ist auch $ah$ enthalten in $ak.$

Beweis:
Nach Voraussetzung ist $h\subseteq k.$
1.	Falls $y\in h,$ so ist $y\in k$	(Vor)
Es sei $z\in ah$ beliebig. Wir zeigen $z\in ak$ .
2.	Es ist $z\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in h\ \mbox{mit}\ x\in ay\}$	(Def 3)
3.	Es ist $z\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in k\ \mbox{mit}\ x\in ay\}$	(1, 2)
4.	Es ist $z\in ak$	(3, Def 3)
Damit ist der Beweis abgeschlossen. $\quad\Box$

Theorem 11 (Peano §3P11)

Es seien $a\in{\mathcal P}$ und $h,k\in{\mathcal F}.$ Dann gilt $(h\subseteq k)\longrightarrow(a'h\subseteq a'k).$

Sind $a$ ein beliebiger Punkt und $h$ und $k$ zwei geometrische Figuren, wobei $h$ in $k$ enthalten ist, so ist auch $a'h$ in $a'k$ enthalten.

Beweis:
Nach Voraussetzung ist $h\subseteq k$ .
1.	Falls $y\in h,$ so ist $y\in k$	(Vor)
Es sei $z\in a'h$ beliebig. Wir zeigen $z\in a'k.$
2.	Es ist $z\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in h\ \mbox{mit}\ x\in a'y\}$	(Def 4)
3.	Es ist $z\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in k\ \mbox{mit}\ x\in a'y\}$	(1, 2)
4.	Es ist $z\in a'k$	(3, Def 4)
Damit ist der Beweis abgeschlossen. $\quad\Box$

Theorem 12 (Peano §3P12)

Es seien $a\in{\mathcal P}$ und $h,k\in{\mathcal F}.$ Dann gilt $(h\subseteq k)\longrightarrow(ah'\subseteq ak').$

Sind $a$ ein beliebiger Punkt und $h$ und $k$ zwei geometrische Figuren, wobei $h$ in $k$ enthalten ist, so ist auch $ah'$ in $ak'$ enthalten.

Beweis:
Nach Voraussetzung ist $h\subseteq k$ .
1.	Falls $y\in h,$ so ist $y\in k$	(Vor)
Es sei $z\in ah'$ beliebig. Wir zeigen $z\in ak'.$
2.	Es ist $z\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in h\ \mbox{mit}\ x\in ay'\}$	(Def 5)
3.	Es ist $z\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in k\ \mbox{mit}\ x\in ay'\}$	(1, 2)
4.	Es ist $z\in ak'$	(3, Def 5)
Damit ist der Beweis abgeschlossen. $\quad\Box$

Theorem 13 (Peano §3P13)

Es seien $a\in{\mathcal P}$ und $h,k\in{\mathcal F}.$ Dann gilt $a(h\cup k)=ah\cup ak.$

Beweis:
Es sei $z\in a(h\cup k).$ Wir zeigen $z\in ah\cup ak.$
1.	Es ist $z\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in h\cup k\ \mbox{mit}\ x\in ay\}$	(Def 3)
2.	Es ist $z\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in h\ \mbox{mit}\ x\in ay\}$
	oder $z\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in k\ \mbox{mit}\ x\in ay\}$	(1)
3.	Es ist $z\in ah$ oder $z\in ak$	(2, Def 3)
4.	Es ist $z\in ah\cup ak$	(3)
Es sei $z\in ah\cup ak.$ Wir zeigen $z\in a(h\cup k).$
5.	Es ist $z\in ah$ oder $z\in ak$
6.	Es ist $z\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in h\ \mbox{mit}\ x\in ay\}$
	oder $z\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in k\ \mbox{mit}\ x\in ay\}$	(5, Def 3)
7.	Es ist $z\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in h\cup k\ \mbox{mit}\ x\in ay\}$	(6)
8.	Es ist $z\in a(h\cup k)$	(7, Def 3)
Damit ist der Beweis abgeschlossen. $\quad\Box$

Theorem 14 (Peano §3P14)

Es seien $a\in{\mathcal P}$ und $h,k\in{\mathcal F}.$ Dann gilt $a'(h\cup k)=a'h\cup a'k.$

Beweis:
Es sei $z\in a'(h\cup k).$ Wir zeigen $z\in a'h\cup a'k.$
1.	Es ist $z\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in h\cup k\ \mbox{mit}\ x\in a'y\}$	(Def 4)
2.	Es ist $z\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in h\ \mbox{mit}\ x\in a'y\}$
	oder $z\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in k\ \mbox{mit}\ x\in a'y\}$	(1)
3.	Es ist $z\in a'h$ oder $z\in a'k$	(2, Def 4)
4.	Es ist $z\in a'h\cup a'k$	(3)
Es sei $z\in a'h\cup a'k.$ Wir zeigen $z\in a'(h\cup k).$
5.	Es ist $z\in a'h$ oder $z\in a'k$
6.	Es ist $z\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in h\ \mbox{mit}\ x\in a'y\}$
	oder $z\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in k\ \mbox{mit}\ x\in a'y\}$	(5, Def 3)
7.	Es ist $z\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in h\cup k\ \mbox{mit}\ x\in a'y\}$	(6)
8.	Es ist $z\in a'(h\cup k)$	(7, Def 4)
Damit ist der Beweis abgeschlossen. $\quad\Box$

Theorem 15 (Peano §3P15)

Es seien $a\in{\mathcal P}$ und $h,k\in{\mathcal F}.$ Dann gilt $a(h\cup k)'=ah'\cup ak'\,.$

Beweis:
Es sei $z\in a(h\cup k)'.$ Wir zeigen $z\in ah'\cup ak'.$
1.	Es ist $z\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in h\cup k\ \mbox{mit}\ x\in ay'\}$	(Def 5)
2.	Es ist $z\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in h\ \mbox{mit}\ x\in ay'\}$
	oder $z\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in k\ \mbox{mit}\ x\in ay'\}$	(1)
3.	Es ist $z\in ah'$ oder $z\in ak'$	(2, Def 5)
4.	Es ist $z\in ah'\cup ak'$	(3)
Es sei $z\in ah'\cup ak'.$ Wir zeigen $z\in a(h\cup k)'.$
5.	Es ist $z\in ah'$ oder $z\in ak'$
6.	Es ist $z\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in h\ \mbox{mit}\ x\in ay'\}$
	oder $z\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in k\ \mbox{mit}\ x\in ay'\}$	(5, Def 5)
7.	Es ist $z\in\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in h\cup k\ \mbox{mit}\ x\in ay'\}$	(6)
8.	Es ist $z\in a(h\cup k)'$	(7, Def 5)
Damit ist der Beweis abgeschlossen. $\quad\Box$

Theorem 16 (Peano §3P16)

Es seien $a\in{\mathcal P}$ und $k\in{\mathcal F}$ mit $k=\emptyset.$ Dann gelten $ak=\emptyset\quad\mbox{und}\quad a'k=\emptyset\quad\mbox{und}\quad ak'=\emptyset\,.$

Wir beweisen nur die erste Aussage. Existiert nämlich ein $z\in{\mathcal P}$ mit

$z\in ak=\{x\in{\mathcal P}\,:\,\mbox{es gibt ein}\ y\in k\ \mbox{mit}\ x\in ay\},$

so existiert auch ein $y\in k$ mit $z\in ay.$ Es ist aber nach Voraussetzung $k=\emptyset.$ Widerspruch. $\quad\Box$