12. Kurven und Flächen


 

12.1 Kurven im Euklidischen Raum

 

12.1.1 Stetige Kurvenparametrisierungen

 

Wir beginnen mit der

 

Definition: Unter einer stetigen Kurvenparametrisierung verstehen wir eine vektorwertige Abbildung \[ c\colon I\longrightarrow\mathbb R^n\,,\quad c(t)=(c_1(t),\ldots,c_n(t)),\ t\in I, \] mit Funktionen \( c_k\in C^0(I,\mathbb R) \) für \( k=1,\ldots,n \) auf einem Intervall \( I\subset\mathbb R. \) Unter der zur Parametrisierung gehörigen Kurve verstehen wir das Bild \( c(I)\subseteq\mathbb R^n. \)

 

Beispiel:

1. Gerade, nicht parallel zur \( y \)-Achse

\[ y=f(x)=mx+n,\quad x\in\mathbb R, \]

  mit \( m,n\in\mathbb R; \) mit \( t:=x \) wird

\[ c(t)=(t,mt+n),\quad t\in\mathbb R. \]

2. Kreis vom Radius \( R\gt 0 \) mit Zentrum \( (0,0)\in\mathbb R^2, \) algebraisch beschrieben durch

\[ S_R^1:=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,x^2+y^2=R^2\}\subset\mathbb R^2\,. \]

  Unter Benutzung von Polarkoordinaten

\[ x(t)=R\cos t,\quad y(t)=R\sin t \] \[ S_R^1:=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,x^2+y^2=R^2\}\subset\mathbb R^2\,. \]

  mit \( x(t)^2+y(t)^2=R^2 \) erhalten wir die Parametrisierung

\[ c(t)=(R\cos t,R\sin t),\quad t\in[0,2\pi). \]

3. Neilsche Parabel, algebraisch beschrieben durch

\[ \{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,x^3-y^2=0\}\subset\mathbb R^2\,. \]

  Eine mögliche Parametrisierung ist

\[ c(t)=(t^2,t^3),\quad t\in\mathbb R. \]

 

 

12.1.2 Reguläre Kurvenparametrisierungen

 

Es gibt sogar stetige, aber tatsächlich in keinem Punkt differenzierbare Kurvenparametrisierungen, deren Bilder ganze zweidimensionale Flächen füllen, sogenannte flächenfüllende Kurven. Um solche „exotischen Kurven“ in unserer Vorlesung auszuschließen, kommen wir zur

 

Definition: Unter einer stetig differenzierbaren Kurvenparametrisierung verstehen wir eine vektorwertige Abbildung \[ c\colon I\longrightarrow\mathbb R^n\,,\quad c(t)=(c_1(t),\ldots,c_n(t)),\ t\in I, \] mit Funktionen \( c_k\in C^1(I,\mathbb R) \) für \( k=1,\ldots,n \) auf einem Intervall \( I\subset\mathbb R. \) Wir schreiben kurz \( c\in C^1(I,\mathbb R^n). \)

 

Als Ableitung \( c'(t) \) des Vektors \( c(t) \) vereinbaren wir den Vektor \[ c'(t):=(c_1'(t),c_2'(t),\ldots,c_n'(t)),\quad t\in I. \] Beispiel: Es ist \[ c(t)=(R\cos t,R\sin t),\quad t\in\mathbb R, \] aus der Regularitätsklasse \( C^1(\mathbb R,\mathbb R^2) \) mit dem Ableitungsvektor \[ c'(t)=(-R\sin t,R\cos t),\quad t\in\mathbb R. \] Ebenso ist \[ c(t)=(t^2,t^3) \quad\mbox{mit}\quad c'(t)=(2t,3t^2),\quad t\in\mathbb R, \] aus der Klasse \( C^1(\mathbb R,\mathbb R^2). \)

 

Obwohl also unsere Parametrisierung der Neilschen Parabel stetig differenzierbar ist, weist ihr Bild eine Singularität in Form einer Spitze oder auch Kuspe auf. Wir wollen auch derartige Kurven ausschließen.

 

Definition: Die Kurvenparametrisierung \( c\in C^1(I,\mathbb R^n) \) heißt im Punkt \( t_0\in I \) regulär, falls gilt \[ |c'(t_0)| =\sqrt{c_1'(t_0)^2+\ldots+c_n'(t_0)^2} \,\gt 0. \] Sie heißt regulär, falls erfüllt ist \[ |c'(t)|\gt 0\quad\mbox{für alle}\ t\in I. \]

Bemerkung: Es ist \( c(t)=(t^2,t^3) \) nicht regulär in \( t_0=0. \) Tatsächlich kann man zeigen, dass für die Neilsche Parabel überhaupt keine reguläre Kurvenparametrisierung existiert.

 

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12.1.3 Tangentialvektoren

 

Definition: Es sei \( c\in C^1(I,\mathbb R^n) \) eine reguläre Kurvenparametrisierung. Dann heißen \[ c'(t)=(c_1'(t),\ldots,c_n'(t)),\quad t\in I, \] ihr Tangentialvektor und \[ T(t):=\frac{c'(t)}{|c'(t)|}\,,\quad t\in I, \] ihr Einheitstangentialvektor im Punkt \( t\in I. \)

 

Bemerkung: Formal existiert \( c'(t) \) natürlich auch für nur differenzierbare Kurvenparametrisierungen. Die geforderte Regulartität wird aber verschiedene später auftauchende Probleme ausschließen.

 

Beispiel: Die folgende Parametrisierung einer Herzkurve wurde E. Weissteins ➝  MathWorld entnommen \[ c_1(t)=8\sin^3t,\quad c_2(t)=\frac{13}{2}\,\cos t-\frac{5}{2}\,\cos 2t-\cos 3t-\frac{1}{5}\,\cos 4t,\quad t\in[0,2\pi). \] In den Parameterwerten \( t_0=0 \) (obere Spitze) und \( t_1=\pi \) (untere Spitze) ist die Kurve nicht regulär, und es existiert auch keine reguläre Parametrisierung dieser Kurve. Beachte außerdem, dass die Parametrisierung die Kurve in mathematisch negativem Sinn durchläuft, also in Uhrzeigersinn.

 

Seien nun \( c,\widetilde c\in C^1(I,\mathbb R^n) \) zwei reguläre, auf einem gemeinsamen Parameterintervall \( I\subseteq\mathbb R \) gegebene Kurvenparametrisierungen, und es existiere ein \( t_0\in I, \) so dass gilt \[ c(t_0)=\widetilde c(t_0). \] Der Schnittwinkel beider Kurven in diesem Schnittpunkt ist definiert als \[ \cos\vartheta:=\frac{\langle c'(t_0),\widetilde c'(t_0)\rangle}{|c'(t_0)||\widetilde c'(t_0)|} \] mit dem Euklidischen Skalarprodukt \( \langle\cdot,\cdot\rangle \) - gemeint ist immer der kleinere der beiden Winkel, die die Tangenten einschließen.

 

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12.1.4 Parametertransformationen

 

Wir wollen nun Umparametrisierungen bzw. Parametertransformationen von Kurvenparametrisierungen studieren. Die Einschränkung \( I\subset\mathbb R \) ist hierin willkürlich.

 

Definition: Auf \( I\subset\mathbb R \) sei die reguläre Kurvenparametrisierung \( c\in C^1(I,\mathbb R^n) \) gegeben. Ferner sei eine reguläre Parametertransformation gegeben vermittels einer diffeomorphen Abbildung \[ \varphi\colon I^*\subset\mathbb R\longrightarrow I, \] mit einer Inversen \( \varphi^{-1}\colon I\to I^* \) aus \( C^1(I,\mathbb R). \) Dann heißt \[ \begin{array}{l} \displaystyle \widetilde c\colon I^*\longrightarrow\mathbb R\quad\mbox{vermöge} \\ \displaystyle \widetilde c(t^*):=c\circ\varphi(t^*)=c(\varphi(t^*)),\quad t^*\in I^*\,, \end{array} \] eine reguläre Umparametrisierung von \( c(t). \)

 

Bemerkung: Für einen solchen Diffeomorphismus gilt \[ |\varphi'(t^*)|\gt 0\quad\mbox{für alle}\ t^*\in I^*\,. \]

 

Unter Umparametrisierungen bleibt die Regularität erhalten, wie folgender Satz lehrt.

 

Satz: Es sei \( c\in C^1(I,\mathbb R^n) \) eine reguläre Kurvenparametrisierung, und mit einer regulären Parametertransformation \( \varphi\colon I^*\to I \) sei \[ \widetilde c\colon I^*\longrightarrow\mathbb R^n \quad\mbox{vermöge}\quad \widetilde c(t^*)=c\circ\varphi(t^*),\ t^*\in I^*\,, \] gegeben. Dann ist auch \( \widetilde c(t^*) \) eine reguläre Kurvenparametrisierung.

 

Beweis

 

Die Kettenregel liefert nämlich \[ \frac{d\widetilde c_k(t^*)}{dt^*} =\frac{dc_k(\varphi(t^*))}{dt^*} =\frac{dc_k(\varphi(t^*))}{d\varphi}\cdot\frac{d\varphi}{dt^*} =\frac{dc_k(t)}{dt}\cdot\frac{d\varphi}{dt^*} \] für alle \( k=1,\ldots,n \) und damit \[ \begin{array}{lll} \displaystyle |\widetilde c'(t^*)|^2\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \sum_{k=1}^n|\widetilde c_k'(t^*)|^2 \,=\,\sum_{k=1}^n|c_k'(t))|^2|\varphi'(t^*)|^2 \\ & = & \negthickspace\displaystyle |\varphi'(t^*)|^2\sum_{k=1}^n|c_k'(t)|^2 \,=\,|\varphi'(t^*)|^2|c'(t)|^2\,. \end{array} \] Wegen \( |\varphi'(t^*)|\gt 0 \) und \( |c'(t)|\gt 0 \) folgt \( |\widetilde c'(t^*)|\gt 0, \) was die Regularität beweist.\( \qquad\Box \)

 

 

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12.1.5 Parametertransformationen und Äquivalenzklassen

 

Reguläre Umparametrisierungen erzeugen Äquivalenzklassen vermöge \[ c(t)\sim\widetilde c(t^*) \quad\mbox{genau dann, wenn}\quad \widetilde c(t^*)=c\circ\varphi(t^*). \] Eine Kurve im Raum kann demnach auch als Äquivalenzklasse aller in diesem Sinne äquivalenten Kurvenparametrisierungen angesehen werden. In den Übungen werden wir hierauf genauer eingehen.

 

Wir wollen noch die folgenden Bezeichnungen einführen:

\( \circ \) \( \varphi \) heißt orientierungserhaltend, falls gilt

\[ \varphi'(t^*)\gt 0\quad\mbox{für alle}\ t^*\in I^*\,. \]

\( \circ \) \( \varphi \) heißt orientierungsumkehrend, falls gilt

\[ \varphi'(t^*)\lt 0\quad\mbox{für alle}\ t^*\in I^*\,. \]

 

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12.1.6 Bogenlängenparametrisierung und Bogenlänge

 

Eine besondere Darstellung von Kurven stellt die folgende Bogenlängenparametrisierung dar.

 

Definition: Die reguläre Kurvenparametrisierung \( c\in C^1(I,\mathbb R^n) \) heißt Bogenlängenparametrisierung, falls richtig ist \[ |c'(t)|=1\quad\mbox{für alle}\ t\in I. \]

 

Als Bogenlängenparameter benutzt man gewöhnlich den Buchstaben \( s \) statt \( t. \)

 

Satz: Zu jeder regulären Kurvenparametrisierung \( c\in C^1(I,\mathbb R^n) \) existiert ein \( \varphi\in C^1(I^*,\mathbb R) \) mit \( \varphi'(s)\gt 0 \) für alle \( s\in I^*, \) so dass die reguläre Umparametrisierung \[ \widetilde c(s):=c\circ\varphi(s),\quad s\in I^*\,, \] eine Bogenlängenparametrisierung darstellt.

 

Beweis

 

Sei \( c\in C^1(I,\mathbb R^n). \) Wir wählen ein \( t_0\in I \) beliebig und setzen (eventuell mit uneigentlichen Riemannschen Integralen) \[ s(t):=\int\limits_{t_0}^t|c'(\tau)|\,d\tau,\quad t\ge t_0\,. \] Wegen \( |c'(t_0)|\gt 0 \) in \( I \) folgt mit dem Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung \[ s\in C^1(I,\mathbb R) \quad\mbox{mit}\quad s'(t)=|c'(t)|\gt 0\quad\mbox{in}\ I. \] Also ist \( s(t) \) streng monoton wachsend und injektiv. Daher stellen \[ s\colon I\longrightarrow I^*:=s(I) \] eine reguläre Parametertransformation dar, als auch \[ \widetilde c(s):=c\circ\varphi(s), \quad\mbox{worin}\quad s\circ\varphi(s)=\mbox{id,} \] eine reguläre Umparametrisierung von \( c(t). \) Wegen \( s'(t)=|c'(t)| \) und \( t=\varphi(s) \) berechnen wir \[ \frac{d\widetilde c(s)}{ds} =\frac{dc(\varphi(s))}{ds} =\frac{dc}{dt}\cdot\frac{d\varphi}{ds} =\frac{1}{|c'(t)|}\cdot\frac{dc}{dt} =\frac{c'(t)}{|c'(t)|} \] und damit \[ \left|\,\frac{d\widetilde c(s)}{ds}\right|=1\quad\mbox{für alle}\ s\in I^*\,. \] Also ist \( c\circ\varphi(s) \) eine Bogenlängenparametrisierung.\( \qquad\Box \)

 

 

Beispiel: Betrachte die Kreisparametrisierung \[ c(t)=(R\cos t,R\sin t),\quad t\in[0,2\pi), \] mit Radius \( R\gt 0. \) Es folgt \[ s(t)=\int\limits_0^t|c'(\tau)|\,d\tau=\int\limits_0^tR\,d\tau=Rt. \] Also stellt \[ \widetilde c(s)=\left(R\cos\frac{s}{R}\,,R\sin\frac{s}{R}\right),\quad s\in[0,2\pi R), \] eine reguläre Bogenlängenparametrisierung mit \( |\widetilde c'(s)|\equiv 1 \) dar.

 

Definition: Sei \( c\in C^1(I,\mathbb R^n) \) eine reguläre Kurvenparametrisierung. Dann heißt \[ {\mathcal L}[c]:=\int\limits_I|c'(t)|\,dt \] die Bogenlänge der durch \( c(I) \) dargestellten Kurve im Raum. Im Fall \( {\mathcal L}[c]\lt\infty \) heißt die Kurve rektifizierbar.

 

In dieser Definition haben wir bereits implizit die folgende Invarianzeigenschaft der Bogenlänge verwendet, deren Beweis wir als Übung belassen.

 

Satz: Es sei \( c\in C^1(I,\mathbb R^n) \) eine reguläre Kurvenparametrisierung. Dann ist \( {\mathcal L}[c] \) invariant gegenüber regulären Umparametrisierungen.

 

Aufgaben zu diesem Abschnitt

 


 

 

12.1.7 Aufgaben

 

Aufgaben - Stetige Kurvenparametrisierungen

 

Aufgabe 12.1.1: (Weierstraß' nirgends differenzierbare Funktion)

Es seien \( 0\lt a\lt 1\lt b \) zwei reelle Zahlen mit \( ab\gt 1. \) Wir betrachten die Kurvenparametrisierung \( c(t)=(x(t),y(t)) \) mit den Koordinatenfunktionen \[ x(t):=t,\quad y(t):=\sum_{k=0}^\infty a^k\,\cos(2\pi b^kt),\quad t\in[-1,1]. \]

(i) Skizzieren Sie die Kurve für selbst ausgewählte \( a \) und \( b. \)
(ii) Beweisen Sie, dass \( c(t) \) eine stetige Abbildung darstellt.

Bemerkung:Tatsächlich ist die Funktion \( y(t) \) in keinem Punkt differenzierbar, wie wir in der Analysis 3 lernen werden.

 

Lösung

 

(i) Bild hier
(ii) Wir setzen

\[ f_k(t):=a^k\cos(2\pi b^kt),\quad t\in[-1,1]. \]

  Dann haben wir

\[ |f_k(t)|\le a^k=:M_k\quad\mbox{mit}\quad\sum_{k=0}^\infty M_k\lt\infty\,. \]

  Die Behauptung folgt nun aus dem ➝ Weierstraßschen Majorantentest aus der Analysis 1, Paragraph 6.5.2 und dem dortigen Satz über die gleichmäßige Konvergenz von Funktionenreihen aus dem Paragraphen 6.5.1.

 

 

Aufgaben - Reguläre Kurvenparametrisierungen

 

Aufgabe 12.1.2: (Die Archimedische Spirale)

Betrachten Sie die durch \[ x(t):=t\cos t,\quad y(t):=t\sin t,\quad t\ge 0, \] gegebene, stetig differenzierbare Kurvenparametrisierung \( c(t)=(x(t),y(t)). \)

(i) Skizzieren Sie das Bild dieser Parametrisierung
(ii) Handelt es sich um eine reguläre Parametrisierung? Begründen Sie.

 

Lösung

 

(i) Bild hier
(ii) Wir berechnen

\[ c'(t)=(\cos t-t\sin t,\sin t+t\cos t) \]

  und damit für alle \( t\ge 0 \)

\[ \begin{array}{lll} |c'(t)|^2\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle (\cos t-t\sin t)^2+(\sin t+t\cos t)^2 \\ & = & \negthickspace\displaystyle \cos^2t-2t\sin t\cos t+t^2\sin^2t+\sin^2t+2t\sin t\cos t+t^2\cos^2t \\ & = & \negthickspace\displaystyle 1+t^2\,\gt\,0. \end{array} \]

  Also die angegebene Parametrisierung regulär.

 

Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)

 

 

Aufgabe 12.1.3: (Die Huygenssche Kreisinvolute)

Es sei \( a\gt 0 \) eine reelle Zahl. Betrachten Sie die durch \[ x(t):=a(\cos t+t\sin t),\quad y(t):=a(\sin t-t\cos t),\quad t\gt 0, \] gegebene, stetig differenzierbare Kurvenparametrisierung \( c(t)=(x(t),y(t)). \)

(i) Skizzieren Sie das Bild dieser Parametrisierung für einen selbst gewählten Parameter \( a\gt 0. \)
(ii) Handelt es sich um eine reguläre Parametrisierung? Begründen Sie.

 

Lösung

 

(i) Bild hier
(ii) Wir berechnen

\[ c'(t)=a(-\sin t+\sin t+t\cos t,\cos t-\cos t+t\sin t)=a(t\cos t,t\sin t) \]

  und damit für alle \( t\gt 0 \)

\[ |c'(t)|^2=a^2(t^2\cos^2t+t^2\sin^2t)=a^2t^2\gt 0. \]

  Also die angegebene Parametrisierung regulär.

 

Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)

 

 

Aufgabe 12.1.4: (Herzkurve I)

Betrachten Sie die durch \[ x(t):=8\sin^3t,\quad y(t):=\frac{13}{2}\,\cos t-\frac{5}{2}\,\cos 2t-\cos 3t-\frac{1}{2}\,\cos 4t,\quad t\in[0,2\pi), \] gegebene, stetig differenzierbare Kurvenparametrisierung \( c(t)=(x(t),y(t)). \)

(i) Skizzieren Sie das Bild dieser Parametrisierung
(ii) Handelt es sich um eine reguläre Parametrisierung? Begründen Sie.

 

Lösung

 

(i) Bild hier
(ii) Wir berechnen

\[ \begin{array}{lll} x'(t)\negthickspace & = & \negthickspace 24\sin^2t\cos t, \\ y'(t) & = & \negthickspace\displaystyle -\,\frac{13}{2}\,\sin t+5\sin 2t+3\sin 3t+2\sin 4t \end{array} \]

  und damit insbesondere

\[ x'(0)=0,\quad y'(0)=0. \]

  Die angegebene Parametrisierung ist also nicht regulär.

 

Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)

 

 

Aufgabe 12.1.5: (Herzkurve II)

Betrachten Sie die durch \[ x(t):=(1-\cos t)\cos t,\quad y(t):=(1-\cos t)\sin t,,\quad t\in[0,2\pi), \] gegebene, stetig differenzierbare Kurvenparametrisierung \( c(t)=(x(t),y(t)). \)

(i) Skizzieren Sie das Bild dieser Parametrisierung
(ii) Handelt es sich um eine reguläre Parametrisierung? Begründen Sie.
(iii) Verifizieren Sie, dass die Parametrisierung folgender algebraischer Gleichung genügt

\[ (x+x^2+y^2)^2=x^2+y^2\,. \]

 

Lösung

 

(i) Bild hier
(ii) Wir berechnen

\[ x'(t)=\sin t\cos t-(1-\cos t)\sin t,\quad y'(t)=\sin^2t+(1-\cos t)\cos t \]

  und damit insbesondere

\[ x'(0)=0,\quad y'(0)=0. \]

  Die angegebene Parametrisierung ist also nicht regulär.
(iii) Wir berechnen

\[ \begin{array}{lll} x^2+y^2\negthickspace & = & \negthickspace (1-2\cos t+\cos^2t)\cos^2t+(1-2\cos t+\cos^2t)\sin^2t \\ & = & \negthickspace 1-2\cos t+\cos^2t \end{array} \]

  und damit

\[ x+x^2+y^2 =(1-\cos t)\cos t+1-2\cos t+\cos^2t =1-\cos t \]

  bzw. nach Quadrieren

\[ (x+x^2+y^2)^2=1-2\cos t+\cos^2t,\quad \mbox{also}\quad (x+x^2+y^2)^2=x^2+y^2\,. \] Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)

 

 

Aufgabe 12.1.6: (Die Versiera der Agnesi)

Es sei \( a\gt 0 \) eine reelle Zahl. Betrachten Sie die durch \[ x(t):=at,\quad y(t):=\frac{a}{t^2+1}\,,\quad t\in\mathbb R, \] gegebene, stetig differenzierbare Kurvenparametrisierung \( c(t)=(x(t),y(t)). \)

(i) Skizzieren Sie das Bild dieser Parametrisierung für einen selbst gewählten Parameter \( a\gt 0. \)
(ii) Handelt es sich um eine reguläre Parametrisierung? Begründen Sie.
(iii) Verifizieren Sie, dass die Parametrisierung folgender algebraischer Gleichung genügt

\[ (x^2+a^2)y-a^3=0. \]

 

Lösung

 

(i) Bild hier
(ii) Wir berechnen

\[ x'(t)=a,\quad y'(t)=-\,\frac{2at}{(t^2+1)^2}\,, \]

  weshalb

\[ |c'(t)|^2=a^2+\frac{4a^2t^2}{(t^2+1)^4}\ge a^2\gt 0, \]

  d.h. es handelt sich um eine reguläre Parametrisierung.
(iii) Wir berechnen nämlich

\[ (x^2+a^2)y-a^3 =(a^2t^2+a^2)\,\frac{a}{t^2+1}-a^3 =a^3-a^3 =0. \] Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)

 

 

Aufgabe 12.1.7: (Die kubische Tschirnhausen-Kurve)

Betrachten Sie die durch \[ x(t):=1-3t^2\,,\quad y(t):=(3-t^2)t,\quad t\in[-3,3], \] gegebene, stetig differenzierbare Kurvenparametrisierung \( c(t)=(x(t),y(t)). \)

(i) Skizzieren Sie das Bild dieser Parametrisierung.
(ii) Handelt es sich um eine reguläre Parametrisierung? Begründen Sie.
(iii) Verifizieren Sie, dass die Parametrisierung folgender algebraischer Gleichung genügt

\[ 27y^2=(1-x)(x+8)^2\,. \]

 

Lösung

 

(i) Bild hier
(ii) Wir berechnen

\[ x'(t)=-6t,\quad y'(t)=3-3t^2 \]

  weshalb gilt

\[ x'^2+y'^2 =36t^2+9-18t^2+9t^4 \ge 9\gt 0. \]

  Es handelt sich also um eine reguläre Parametrisierung.
(iii) Wir berechnen

\[ \begin{array}{lll} (1-x)(x+8)^2\negthickspace & = & \negthickspace (1-1+3t^2)(1-3t^2+8)^2 \,=\,3t^2(9-3t^2)^2 \\ & = & \negthickspace 27t^2(3-t^2)^2 \,=\,27y^2\,. \end{array} \] Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)

 

 

Aufgaben - Tangentialvektoren

 

Aufgabe 12.1.8: (Logarithmische Spirale)

Betrachten Sie die durch \[ x(t):=e^t\cos t,\quad y(t):=e^t\sin t,\quad t\in[0,\infty), \] gegebene, stetig differenzierbare Kurvenparametrisierung \( c(t)=(x(t),y(t)). \)

(i) Skizzieren Sie das Bild dieser Parametrisierung.
(ii) Handelt es sich um eine reguläre Parametrisierung? Begründen Sie.
(iii) Für welche Parameterwerte \( t_k\in[0,\infty) \) schneidet die Kurve die \( x \)-Achse?
(iv) Berechnen Sie die zugehörigen Schnittwinkel.

 

Lösung

 

(i) Bild hier
(ii) Wir berechnen

\[ c'(t)=(e^t\cos t-e^t\sin t,e^t\sin t+e^t\cos t) \]

  und damit für alle \( t\in\mathbb R \)

\[ \begin{array}{lll} |c'(t)|^2\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle e^{2t}(\cos^2t-2\sin t\cos t+\sin^2t+\sin^2t+2\sin t\cos t+\cos^2t) \\ & = & \negthickspace\displaystyle e^{2t}(2\sin^2+2\cos^2t) \,=\,2e^{2t} \,\gt\,0. \end{array} \]

  Also die angegebene Parametrisierung regulär.
(iii) Es muss gelten

\[ e^t\sin t_k=0 \quad\mbox{bzw.}\quad \sin t_k=0 \quad\mbox{bzw.}\quad t_k=k\pi,\ k=1,2,\ldots \]

(iv) Mit der Parametrisierung \( (t,0), \) \( t\in\mathbb R, \) für die \( x \)-Achse berechnen wir

\[ \begin{array}{lll} \cos\vartheta_k\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \frac{\langle c'(t_k),(1,0)\rangle}{|c'(t_k)|} \\ & = & \negthickspace\displaystyle \frac{\langle(e^{t_k}\cos t_k-e^{t_k}\sin t_k,e^{t_k}\sin t_k+e^{t_k}\cos t_k),(1,0)\rangle}{\sqrt{2}\,e^{t_k}} \\ & = & \negthickspace\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\,\cos t_k \end{array} \]

  bzw.

\[ \cos\vartheta_k =\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}, & \quad\mbox{falls}\ k\ \mbox{gerade} \\ \displaystyle-\,\frac{1}{\sqrt{2}}, & \quad\mbox{falls}\ k\ \mbox{ungerade} \end{array} \right. \]

  bzw.

\[ \vartheta_k =\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle\frac{\pi}{4}\,, & \quad\mbox{falls}\ k\ \mbox{gerade} \\ \displaystyle\frac{3\pi}{4}\,, & \quad\mbox{falls}\ k\ \mbox{ungerade} \end{array} \right.. \] Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)

 

 

Aufgaben - Parametertransformationen

 

Aufgabe 12.1.9: (Neilsche Parabel)

Die Neilsche Parabel ist die Menge \[ \{(x,y)\in\mathbb R^2\,:\,x^3-y^2=0\}\subset\mathbb R^2\,. \]

(i) Skizzieren Sie die Neilsche Parabel.
(ii) Verifizieren Sie, dass die Parametrisierung

\[ c(t)=(t^2,t^3),\quad t\in\mathbb R, \]

  der algebraischen Definition der Neilschen Parabel genügt.
(iii) Handelt es sich um eine reguläre Parametrisierung? Begründen Sie.
(iv) Beweisen Sie, dass es keine reguläre Parametrisierung der Form

\[ c(t)=(x(t),y(t))\in C^2(\mathbb R,\mathbb R^2) \quad\mbox{mit der Eigenschaft}\quad x(0)=y(0)=0 \]

  der Neilschen Parabel gibt. Beachten Sie hierin die Regularitätsvoraussetzung \( C^2(\mathbb R^2,\mathbb R^2). \)

 

Lösung

 

(i) Siehe Paragraph 12.1.1 oben.
(ii) Mit \( x(t)=t^2 \) und \( y(t)=t^3 \) berechnen wir nämlich

\[ x(t)^3-y(t)^2=(t^2)^3-(t^3)^2=t^6-t^6=0, \]

  d.h. die angegebene Parametrisierung genügt der algebraischen Definition der Kurve.
(iii) Die Parametrisierung ist nicht regulär, denn

\[ c'(0)=(2t,3t^2)_{t=0}=(0,0). \]

(iv) Wir differenzieren \( x(t)^3-y(t)^2=0 \) zweimal und erhalten

\[ \begin{array}{l} 3x(t)^2x'(t)-2y(t)y'(t)=0, \\ 6x(t)x'(t)^2+3x(t)^2x''(t)-2y'(t)^2-2y(t)y''(t)=0. \end{array} \]

  In die zweite Identität setzen wir \( x(0)=0 \) und \( y(0)=0 \) ein, so dass folgt

\[ -2y'(0)=0\quad\mbox{bzw.}\quad y'(0)=0. \]

  Da andererseits die Kurve im Ursprung \( (0,0)\in\mathbb R^2 \) die \( y \)-Achse berührt, mus gelten \( x'(0)=0, \) und damit folgt \( c'(0)=0. \) Es kann also keine reguläre \( C^2 \)-reguläre Parametrisierung der Neilschen Parabel geben.

 

Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)

 

 

Aufgaben - Parametertransformationen und Äquivalenzklassen

 

Aufgabe 12.1.10: (Umparametrisieren erzeugt Äquivalenzklassen)

Zwei reguläre Kurvenparametrisierungen \( c(t) \) und \( \widetilde c(t^*) \) heißen äquivalent, in Zeichen \[ c\sim\widetilde c\,, \] genau dann, wenn sie vermittels einer regulären Parametertransformation, d.h. einer diffeomorphen Abbildung \[ \varphi\colon I^*\longrightarrow I \quad\mbox{mit der Inversen}\quad \varphi^{-1}\colon I\longrightarrow I^* \] wie folgt auseinander hervorgehen \[ \widetilde c(t^*)=c\circ\varphi(t^*) \quad\mbox{bzw.}\quad \widetilde c=c\circ\varphi. \] Beweisen Sie, dass es sich bei der Relation \( \sim \) um eine Äquivalenzrelation handelt.

 

Lösung

 

Wir verifizieren die drei Eigenschaften einer Äquivalenzrelation.

\( \circ \) Reflexivität: Es ist \( c\sim c \) mit der identischen Abbildung \( \varphi=\mbox{id}, \) denn es gilt \( c=c\circ\mbox{id}. \)
\( \circ \) Symmetrie: Ist \( c\sim\widetilde c \) vermöge \( \widetilde c=c\circ\varphi, \) so auch \( \widetilde c\sim c \) vermöge \( c=\widetilde c\circ\varphi^{-1}. \)
\( \circ \) Transitivität: Sind \( c\sim\widetilde c \) vermöge \( \widetilde c=c\circ\varphi \) und \( \widetilde c\sim\widehat c \) vermöge \( \widehat c=\widetilde c\circ\psi, \) so folgt

\[ \widehat c=\widetilde c\circ\psi=(c\circ\varphi)\circ\psi=c\circ(\varphi\circ\psi) \]

  mit der diffeomorphen Abbildung \( \varphi\circ\psi, \) d.h. \( c\sim\widehat c. \)

 

Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)

 

 

Aufgabe 12.1.11: (Orientierungserhaltend und orientierungsumkehrend)

Wir betrachten folgende Parametrisierung des Einheitskreises \[ c(t)=(\cos t,\sin t),\quad t\in[0,2\pi). \] Geben Sie jeweils eine Umparametrisierung \( \widetilde c=c\circ\varphi \) an mit

(i) einer orientierungserhaltene und
(ii) einer orientierungsumkehrenden

Abbildung \( \varphi(t^*). \) Wie lautet die Darstellung \( \widetilde c(t^*)? \)

 

Lösung

 

(i) Es ist

\[ t=\varphi(t^*):=2t^*\,,\quad t^*\in[0,\pi), \]

  mit \( \varphi'(t^*)=2\gt 0 \) orientierungserhaltend. Die neue Kurvendarstellung lautet

\[ \widetilde c^(t^*)=(\cos 2t^*,\sin 2t^*),\quad t^*\in[0,\pi). \]

(ii) Es ist

\[ t=\varphi(t^*):=2\pi-t^*\,,\quad t^*\in(0,2\pi], \]

  mit \( \varphi'(t^*)=-1\lt 0 \) orientierungsumkehrend. Die neue Kurvendarstellung lautet

\[ \widetilde c(t^*)=(\cos(2\pi-t^*),\sin(2\pi-t^*))=(\cos t^*,-\sin t^*),\quad t^*\in(0,2\pi]. \]

 

 

Aufgabe 12.1.12: (Umparametrisierung der Herzkurve)

Finden Sie eine Umparametrisierung der Herzkurve aus Paragraph 12.1.3, welche die Kurve in mathematisch positivem Sinn durchläuft.

 

Lösung

 

Die Darstellung \[ \widetilde c(t^*)=\left(-8\sin^3t^*,\frac{13}{2}\,\cos t^*-\frac{5}{2}\,\cos 2t^*-\cos 3t^*-\frac{1}{2}\,\cos 4t^*\right),\quad t^*\in(0,2\pi], \] erzeugt die Herzkurve mit dem geforderten Richtungssinn. Die umparametrisierende Abbildung dazu lautet \[ \varphi\colon(0,2\pi]\longrightarrow[0,2\pi),\quad \varphi(t^*):=2\pi-t^*\,. \]

 

 

Aufgaben - Bogenlängenparametrisierung und Bogenlänge

 

Aufgabe 12.1.13: (Bogenlänge und Bogenlängenparametrisierung I)

Es seien \( a,b\in\mathbb R. \) Betrachten Sie folgende Geradenparametrisierung \[ c(t)=(t,at+b),\quad t\in[-1,1]. \]

(i) Skizzieren Sie das Bild dieser Parametrisierung.
(ii) Handelt es sich um eine reguläre Parametrisierung? Begründen Sie.
(iii) Berechnen Sie die Länge \( {\mathcal L}[c] \) der Kurve.
(iv) Ermitteln Sie eine Bogenlängenparametrisierung \( c(s). \) Verifizieren Sie.

 

Lösung

 

(i) Es handelt sich um ein Geradensegment.
(ii) Wegen

\[ |c'(t)|=|(1,a)|=\sqrt{1+a^2}\gt 0\quad\mbox{für alle}\ t\in[-1,1] \]

  ist die Parametrisierung regulär.
(iii) Wir berechnen

\[ {\mathcal L}[c] =\int\limits_{-1}^1|c'(t)|\,dt =\int\limits_{-1}^1\sqrt{1+a^2} =2\,\sqrt{1+a^2}\,. \]

(iv) Wir setzen

\[ s(t) :=\int\limits_{-1}^t|c'(t)|\,dt =(1+t)\sqrt{1+a^2} \]

  und bekommen damit nach Umstellen

\[ t=\frac{s}{\sqrt{1+a^2}}-1\,. \]

  Wir erhalten also folgende Darstellung in Bogenlänge

\[ c(s)=\left(\frac{s}{\sqrt{1+a^2}}-1,\frac{as}{\sqrt{1+a^2}}-a+b\right),\quad s\in\big[0,\sqrt{1+a^2}\big], \]

  denn wir verifizieren

\[ |c'(s)|^2=\frac{1}{1+a^2}+\frac{a^2}{1+a^2}=\frac{1+a^2}{1+a^2}=1. \] Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)

 

 

Aufgabe 12.1.14: (Bogenlänge und Bogenlängenparametrisierung II)

Es seien \( R\gt 0 \) eine reelle Zahl. Betrachten Sie folgende Kreisparametrisierung \[ c(t)=(R\cos t,R\sin t),\quad t\in[0,2\pi). \]

(i) Skizzieren Sie das Bild dieser Parametrisierung.
(ii) Handelt es sich um eine reguläre Parametrisierung? Begründen Sie.
(iii) Berechnen Sie die Länge \( {\mathcal L}[c] \) der Kurve.
(iv) Ermitteln Sie eine Bogenlängenparametrisierung \( c(s). \)

 

Lösung

 

(i) Es handelt sich um einen Kreis vom Radius \( R\gt 0. \)
(ii) Wegen

\[ |c'(t)|=|(-R\sin t,R\cos t)|=R\gt 0\quad\mbox{für alle}\ t\in[0,2\pi) \]

  ist die Parametrisierung regulär.
(iii) Wir berechnen

\[ {\mathcal L}[c] =\int\limits_0^{2\pi}|c'(t)|\,dt =\int\limits_0^{2\pi}R\,dt=2\pi R. \]

(iv) Wir setzen

\[ s(t):=\int\limits_0^t|c'(t)|\,dt=Rt \]

  und bekommen damit nach Umstellen

\[ t=\frac{s}{R}\,. \]

  Wir erhalten also folgende Darstellung in Bogenlänge

\[ c(s)=\left(R\cos\frac{s}{R}\,,R\sin\frac{s}{R}\right),\quad s\in[0,2\pi R), \]

  denn wir verifizieren

\[ |c'(s)|^2=\left|\left(-\sin\frac{s}{R}\,,\cos\frac{s}{R}\right)\right|^2=1. \] Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)

 

 

Aufgabe 12.1.15: (Bogenlänge und Bogenlängenparametrisierung III)

Betrachten Sie folgende Kurvenparametrisierung der Kettenkurve \[ c(t)=(t,\cosh t),\quad t\in[-1,1]. \]

(i) Skizzieren Sie das Bild dieser Parametrisierung.
(ii) Handelt es sich um eine reguläre Parametrisierung? Begründen Sie.
(iii) Berechnen Sie die Länge \( {\mathcal L}[c] \) der Kurve.
(iv) Ermitteln Sie eine Bogenlängenparametrisierung \( c(s). \)

 

Lösung

 

(i) Bild hier
(ii) Wegen

\[ |c'(t)|=|(1,\sinh t)|=\sqrt{1+\sinh^2t}\gt 0\quad\mbox{für alle}\ t\in[-1,1] \]

  ist die Parametrisierung regulär
(iii) Wir berechnen

\[ \begin{array}{lll} {\mathcal L}[c]\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \int\limits_{-1}^1|c'(t)|\,dt \,=\,\int\limits_{-1}^1\sqrt{1+\sinh^2t}\,dt \,=\,\int\limits_{-1}^1\cosh t\,dt \\ & = & \negthickspace\displaystyle \sinh 1-\sinh(-1) \,=\,2\sinh 1. \end{array} \]

(iv) Wir setzen

\[ s(t):=\int\limits_{-1}^t|c'(t)|\,dt=\sinh t-\sinh(-1)=\sinh t+\sinh 1 \]

  und bekommen damit nach Umstellen

\[ t=\mbox{arsinh}\,(s-\sinh 1). \]

  Wir erhalten also die folgende Darstellung in Bogenlänge

\[ c(s)=(\mbox{arsinh}\,(s-\sinh 1),\cosh(\mbox{arsinh}\,(s-\sinh 1))),\quad s\in[0,2\sinh 1], \]

  denn wir verifizieren

\[ \begin{array}{lll} |c'(s)|^2\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \left|\left(\frac{1}{\sqrt{1+(s-\sinh 1)^2}}\,,\frac{\sinh(\mbox{arsinh}\,(s-\sinh 1))}{\sqrt{1+(s-\sinh 1)^2}}\right)\right|^2 \\ & = & \negthickspace\displaystyle \frac{1}{1+(s-\sinh 1)^2}+\frac{(s-\sinh 1)^2}{1+(s-\sinh 1)^2} \,=\,1. \end{array} \] Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)

 

 

Aufgabe 12.1.16: (Bogenlänge und Bogenlängenparametrisierung IV)

Es seien \( R\gt 0 \) und \( h\gt 0 \) zwei reelle Zahlen. Betrachten Sie folgende Parametrisierung der Helix \[ c(t)=(R\cos t,R\sin t,ht),\quad t\in[0,4\pi]. \]

(i) Skizzieren Sie das Bild dieser Parametrisierung.
(ii) Handelt es sich um eine reguläre Parametrisierung? Begründen Sie.
(iii) Berechnen Sie die Länge \( {\mathcal L}[c] \) der Kurve.
(iv) Ermitteln Sie eine Bogenlängenparametrisierung \( c(s). \)

 

Lösung

 

(i) Bild hier
(ii) Wegen

\[ |c'(t)|=|(-R\sin t,R\cos t,h)|=\sqrt{R^2+h^2}\gt 0\quad\mbox{für alle}\ t\in[0,4\pi] \]

  ist die Parametrisierung regulär.
(iii) Wir berechnen

\[ {\mathcal L}[c] =\int\limits_0^{4\pi}|c'(t)|\,dt =\int\limits_0^{4\pi}\sqrt{R^2+h^2}\,dt =4\pi\sqrt{R^2+h^2}\,. \]

(iv) Wir setzen

\[ s(t):=\int\limits_0^t|c'(t)|\,dt=\sqrt{R^2+h^2}\,t \]

  und bekommen damit nach Umstellen

\[ t=\frac{s}{\sqrt{R^2+h^2}}\,. \]

  Wir erhalten also folgende Darstellung in Bogenlänge

\[ c(s)=\left(R\cos\frac{s}{\sqrt{R^2+h^2}}\,,R\sin\frac{s}{\sqrt{R^2+h^2}}\,,\frac{hs}{\sqrt{R^2+h^2}}\right),\quad s\in\big[0,4\pi\sqrt{R^2+h^2}\big], \]

  denn wir verifizieren

\[ \begin{array}{lll} |c'(s)|^2\negthickspace & = & \negthickspace\displaystyle \frac{R^2}{R^2+h^2}\,\sin^2\frac{s}{\sqrt{R^2+h^2}}+\frac{R^2}{R^2+h^2}\,\cos^2\frac{s}{\sqrt{R^2+h^2}}+\frac{h^2}{R^2+h^2} \\ & = & \negthickspace\displaystyle \frac{R^2}{R^2+h^2}+\frac{h^2}{R^2+h^2} \,=\,1. \end{array} \] Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)

 

 

Aufgabe 12.1.17: (Invarianz des Längenfunktionals)

Beweisen Sie die Parameterinvarianz des Längenfunktionals für reguläre Kurvenparametrisierungen \( c\in C^1(I,\mathbb R^n). \)

 

Lösung

 

Wir verifizieren die Behauptung für den Fall \( \varphi'(t^*)\gt 0. \) Seien also \[ \widetilde c(t^*)=c\circ\varphi(t^*),\quad \varphi\colon[a^*,b^*]\to[a,b], \] so folgt mit der ➝ Substitutionsformel \[ \int\limits_{a^*}^{b^*}\left|\,\frac{d\widetilde c}{dt^*}\right|dt^* =\int\limits_{a^*}^{b^*}\left|\,\frac{dc}{dt}\,\frac{d\varphi}{dt^*}\right|dt^* =\int\limits_{a^*}^{b^*}|c'(t)|\varphi'(t^*)\,dt^* =\int\limits_a^b|c'(t)|\,dt \] und damit \( {\mathcal L}[c]={\mathcal L}[\widetilde c]. \) Im Fall \( \varphi'(\tau)\lt 0 \) beachten wir beim rechts stehenden Integral \( b\lt a \) im Fall \( a^*\lt b^* \) und den damit verbundenen Vorzeichenwechsel, der durch \( |\varphi'(\tau)|=-\varphi'(\tau) \) jedoch wieder ausgeglichen wird, woraus erneut die Invarianz folgt.\( \qquad\Box \)

 

 

Aufgabe 12.1.18: (Das Längenfunktional für graphische Kurven)

Auf dem kompakten Intervall \( [a,b]\subset\mathbb R \) mit \( -\infty\lt a\lt b\lt\infty \) seien die stetig differenzierbare Funktion \( f\in C^1([a,b],\mathbb R) \) gegeben und mit ihr die Kurvenparametrisierung \[ c(x)=(x,f(x)),\quad x\in[a,b], \] Beweisen Sie die Darstellung \[ {\mathcal L}[c]=\int\limits_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx \] für die Länge der von der Parametrisierung erzeugten ebenen Kurve.

 

Lösung

 

Wir gehen aus von der Darstellung \[ {\mathcal L}[c]=\int\limits_I|c'(t)|\,dt \] aus der zweiten Definition aus Paragraph 12.1.6. Hierin werten wir den Integranden mit \[ c(x)=(x,f(x)),\quad x\in[a,b], \] wie folgt aus \[ |c'(x)| =|(1,f'(x))| =\sqrt{1+f'(t)^2}\,. \] Einsetzen beweist die Behauptung.\( \qquad\Box \)

 

 


 

 

12.1.8 Wiederholungsfragen

 

1. Was verstehen wir unter einer stetigen Kurvenparametrisierung?
2. Geben Sie jeweils eine Kurvenparametrisierung einer Geraden und eines Kreises an.
3. Wie ist die Neilsche Parabel definiert?
4. Geben Sie eine Parametrisierung der Neilschen Parabel an.
5. Was verstehen wir unter einer regulären Kurvenparametrisierung?
6. Wie sind Tangentialvektor und Einheitstangentialvektor definiert?
7. Wie berechnet sich der Schnittwinkel zwischen zwei Kurven in einem gemeinsamen Punkt?
8. Erläutern Sie den Begriff einer regulären Parametertransformation.
9. Beweisen Sie den Satz aus Paragraph 12.1.4.
10. Was versteht man unter orientierungserhaltend und orientierungsumkehrend?
11. Was versteht man unter einer Bogenlängenparametrisierung?
12. Wie ist die Bogenlänge definiert?
13. Beweisen Sie den zweiten Satz aus Paragraph 12.1.6.

 


 

12.2 Flächen im Euklidischen Raum

 

12.2.1 Stetige Flächenparametrisierungen

 

Wir wollen nun \( m \)-dimensionale Objekte in Euklidischen Räumen betrachten.

 

Definition: Unter einer stetigen Flächenparametrisierung verstehen wir eine vektorwertige Abbildung \[ f\colon\Omega\longrightarrow\mathbb R^n\,,\quad f(x)=(f_1(x_1,\ldots,x_m),\ldots,f_n(x_1,\ldots,x_m)),\ x\in\Omega, \] mit Funktionen \( f_k\in C^0(\Omega,\mathbb R) \) für \( k=1,\ldots,n \) auf einer Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R^m. \) Unter der zur Parametrisierung gehörigen Fläche verstehen wir das Bild \( f(\Omega)\subseteq\mathbb R^n. \)

 

Der Fall \( m=1 \) entspricht dem oben diskutierten Fall von Kurven.

 

Beispiel: Es parametrisiert \[ f(x,y)=(x,y,x^2+y^2),\quad(x,y)\in\mathbb R^2\,, \] das zweidimensionale Rotationsparaboloid im \( \mathbb R^3. \)

 

 

12.2.2 Partielle Ableitungen

 

Zur Definition regulärer Flächenparametrisierungen benötigen den Begriff der partiellen Ableitung. Dazu setzen wir explizit offene Definitionsbereiche voraus.

 

Definition: Die Abbildung \[ f(x)=(f_1(x_1,\ldots,x_m),\ldots,f_n(x_1,\ldots,x_m))\colon\Omega\longrightarrow\mathbb R^n \] auf der offenen Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R^m \) heißt bez. der \( j \)-ten Koordinatenrichtung partiell differenzierbar, falls \[ \Phi_j(t):=f(\widetilde x_1,\ldots,\widetilde x_{j-1},t,\widetilde x_{j+1},\ldots,\widetilde x_m),\quad t\in(\widetilde x_j-\varepsilon,\widetilde x_j+\varepsilon)\ \mbox{mit}\ \varepsilon\gt 0, \] in \( t=\widetilde x_j \) differenzierbar ist. In diesem Fall schreiben wir \[ f_{x_j}(\widetilde x) \equiv\partial_jf(\widetilde x) \equiv\partial_{x_j}f(\widetilde x) \equiv\frac{\partial f(\widetilde x)}{\partial x_j} :=\frac{d\Phi_j(t)}{dt}\,\Big|_{t=\widetilde x_j}\,. \] Weiter sagen wir:

\( \circ \) Es heißt \( f(x) \) partiell differenzierbar, falls \( \partial_jf(x) \) für alle \( x\in\Omega \) und alle \( j=1,\ldots,m \) existiert.
\( \circ \) Es heißt \( \partial_jf(x) \) die \( j \)-te partielle Ableitung.

Existieren schließlich \( \partial_1f(x),\ldots,\partial_mf(x) \) in ganz \( \Omega, \) wobei zudem \( \partial_jf\in C^0(\Omega,\mathbb R^n) \) erfüllt ist für alle \( j=1,\ldots,m, \) so schreiben wir \[ f\in C^1(\Omega,\mathbb R^n). \]

 

Für Abbildungen \( f\in C^1(\Omega,\mathbb R^n) \) bzw. für partiell differenzierbare Abbildungen \( f\colon\Omega\to\mathbb R^n \) bedeutet \[ \partial f(x) :=\left(\frac{\partial f_i(x)}{\partial x_j}\right)_{\substack{i=1,\ldots,n \\ j=1,\ldots,m}} =\left( \begin{array}{ccc} \partial_1f_1(x) & \cdots & \partial_mf_1(x) \\ \vdots & & \vdots \\ \partial_1f_n(x) & \cdots & \partial_mf_n(x) \end{array} \right) \] die Funktionalmatrix oder auch Jacobimatrix.

 

Aufgaben zu diesem Abschnitt

 


 

 

12.2.3 Reguläre Flächenparametrisierungen

 

Wir nehmen an \( m\le n. \)

 

Definition: Die Flächenparametrisierung \( f\in C^1(\Omega,\mathbb R^n) \) auf der offenen Menge \( \Omega\subseteq\mathbb R^m \) heißt im Punkt \( x_0\in\Omega \) regulär, falls gilt \[ \mbox{Rang}\,\partial f(x_0)=m. \] Sie heißt regulär, falls \[ \mbox{Rang}\,\partial f(x)=m\quad\mbox{für alle}\ x\in\Omega. \]

 

Die Ableitungsvektoren \[ \partial_{x_k}f(x)=(\partial_{x_k}f_1(x),\ldots,\partial_{x_k}f_n(x))\in\mathbb R^n\,,\quad k=1,\ldots,m, \] einer Abbildung \( f\in C^1(\Omega,\mathbb R^n) \) heißen Tangentialvektoren.

 

Bemerkung: Ist \( f\in C^1(\Omega,\mathbb R^n) \) regulär im Punkt \( x_0\in\Omega, \) so sind dort die Tangentialvektoren linear unabhängig, d.h. der Tangentialraum \[ Tf(x_0):=\mbox{Lin}\,\{\partial_1f(x_0),\ldots,\partial_mf(x_0)\} \] besitzt in \( x_0\in\Omega \) die Dimension \( m. \)

 

Beispiel: Für die das Rotationsparaboloid erzeugende Abbildung \[ f(x,y)=(x,y,x^2+y^2),\quad(x,y)\in\mathbb R^2\,, \] berechnen wir \[ \partial_1f(x,y)=(1,0,2x),\quad \partial_2f(x,y)=(0,1,2y) \] und damit insbesondere \[ \partial_1f(0,0)=(1,0,0),\quad \partial_2f(0,0)=(0,1,0). \] Im Punkt \( (0,0)\in\mathbb R^2 \) besitzt \( f(x,y) \) also eine zweidimensionale Tangentialebene. Allgemeiner gilt \[ \mbox{Rang}\,\partial f(x,y) =\mbox{Rang}\, \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ f_x(x,y) & f_y(x,y) \end{array} \right) =2 \quad\mbox{für alle}\ (x,y)\in\mathbb R^2\,. \]

 

Aufgaben zu diesem Abschnitt

 


 

 

12.2.4 Darstellungsformen für Flächen

 

Wir werden die folgenden Darstellungsformen für Flächen benutzen:

\( \circ \) parametrische Darstellung

\[ f(x)=(f_1(x),\ldots,f_n(x)),\quad x\in\Omega\subseteq\mathbb R^m \]

\( \circ \) implizite Darstellung

\[ g(f_1,\ldots,f_n)=0 \]

  mit einer „glatten“ Funktion \( g\colon\mathbb R^n\to\mathbb R \)
\( \circ \) graphische Darstellung

\[ z_1=h_1(x_1,\ldots,x_m),\quad z_{n-m}=h_{n-m}(x_1,\ldots,x_m) \] Die Umformung einer dieser Darstellungen in eine andere kann sich im praktischen Beispiel als schwierig bis sogar unmöglich herausstellen. Mit dem späteren impliziten Funktionensatz werden wir aber ein spezielles analytisches Hilfsmittel kennenlernen, um dieses Problem anzugehen.

 

Aufgaben zu diesem Abschnitt

 


 

 

12.2.5 Aufgaben

 

Aufgaben - Stetige Flächenparametrisierungen

 

Aufgabe 12.2.1: (Visualisierung der komplexen Exponentialfunktion)

Von der komplexen Exponentialfunktion \[ \exp z=\sum_{k=0}^\infty\frac{z^k}{k!}\,,\quad z=x+iy\in\mathbb C, \] ist der Realteil in der graphischen Form \[ f\colon\mathbb R^2\longrightarrow\mathbb R^3 \quad\mbox{vermöge}\quad f(x,y)=(x,y,\mbox{Re}\,\exp(x+iy)),\quad(x,y)\in\mathbb R^2\,, \] unter der Identifizierung von \( \mathbb R^2 \) und \( \mathbb C \) zu skizzieren.

 

Lösung

 

Hier ein Bild unter Benutzung von gnuplot.

 

 

Aufgaben - Partielle Ableitungen

 

Aufgabe 12.2.2: (Berechnen partieller Ableitungen)

Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen \( f_x \) und \( f_y \) der folgenden Funktionen.

(i) \( f(x,y)=x^2+2xy+y^2 \)
(ii) \( f(x,y)=xy^3+\ln(x+y)-e^{xy} \)

 

Lösung

 

(i) Wir berechnen

\[ f_x(x,y)=2x+2y,\quad f_y(x,y)=2x+2y. \]

(ii) Wir berechnen

\[ f_x(x,y)=y^3+\frac{1}{x+y}-ye^{xy}\,,\quad f_y(x,y)=3xy^2+\frac{1}{x+y}-xe^{xy}\,. \] Damit sind die partiellen Ableitungen ermittelt.\( \qquad\Box \)

 

 

Aufgaben - Reguläre Flächenparametrisierungen

 

Aufgabe 12.2.3: (Das Rotationsparaboloid)

Betrachten Sie die stetig differenzierbare Flächenparametrisierung \[ f(u,v):=(u,v,u^2+v^2),\quad(u,v)\in\mathbb R^2\,. \]

(i) Skizzieren Sie das Bild dieser Parametrisierung.
(ii) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen \( f_u(u,v) \) und \( f_v(u,v), \) und stellen Sie die Funktionalmatrix \( \partial f(u,v)\in\mathbb R^{3\times 2} \) auf.
(iii) Ermitteln Sie die Tangentialebene der Fläche im Punkt \( (u,v)=(0,0). \)
(iv) Handelt es sich in diesem Punkt um eine reguläre Parametrisierung? Begründen Sie.

 

Lösung

 

(i) Bild hier
(ii) Wir berechnen

\[ f_u(u,v)=(1,0,2u),\quad f_v(u,v)=(0,1,2v) \]

  und damit

\[ \partial f(u,v) =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2u & 2v \end{pmatrix}. \]

(iii) Die Tangentialvektoren im Punkt \( (0,0) \) lauten

\[ f_u(0,0)=(1,0,0),\quad f_v(0,0)=(0,1,0), \]

  und damit ergibt sich für die Tangentialebene in diesem Punkt

\[ T_f(0,0)=\mbox{Lin}\,\{(1,0,0),(0,1,0)\}\,. \]

(iv) Es ist

\[ \mbox{Rang}\,\partial f(u,v)=2\quad\mbox{für alle}\ (u,v)\in\mathbb R^2\,, \]

  d.h. die Parametrisierung ist in diesem Punkt und sogar in ganz \( \mathbb R^2 \) regulär.

 

Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)

 

 

Aufgabe 12.2.4: (Hyperbolisches Paraboloid)

Betrachten Sie die stetig differenzierbare Flächenparametrisierung \[ f(u,v):=(u,v,u^2-v^2),\quad(u,v)\in\mathbb R^2\,. \]

(i) Skizzieren Sie das Bild dieser Parametrisierung.
(ii) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen \( f_u(u,v) \) und \( f_v(u,v), \) und stellen Sie die Funktionalmatrix \( \partial f(u,v)\in\mathbb R^{3\times 2} \) auf.
(iii) Ermitteln Sie die Tangentialebene der Fläche im Punkt \( (u,v)=(0,0). \)
(iv) Handelt es sich in diesem Punkt um eine reguläre Parametrisierung? Begründen Sie.

 

Lösung

 

(i) Bild hier
(ii) Wir berechnen

\[ f_u(u,v)=(1,0,2u),\quad f_v(u,v)=(0,1,-2v) \]

  und damit

\[ \partial f(u,v) =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2u & -2v \end{pmatrix}. \]

(iii) Die Tangentialvektoren im Punkt \( (0,0) \) lauten

\[ f_u(0,0)=(1,0,0),\quad f_v(0,0)=(0,1,0), \]

  und damit ergibt sich für die Tangentialebene in diesem Punkt

\[ T_f(0,0)=\mbox{Lin}\,\{(1,0,0),(0,1,0)\}\,. \]

(iv) Es ist

\[ \mbox{Rang}\,\partial f(u,v)=2\quad\mbox{für alle}\ (u,v)\in\mathbb R^2\,, \]

  d.h. die Parametrisierung ist in diesem Punkt und sogar in ganz \( \mathbb R^2 \) regulär.

 

Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)

 

 

Aufgabe 12.2.5: (Der Affensattel)

Betrachten Sie die stetig differenzierbare Flächenparametrisierung \[ f(u,v):=(u,v,u^3-3uv^2),\quad(u,v)\in\mathbb R^2\,. \]

(i) Skizzieren Sie das Bild dieser Parametrisierung.
(ii) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen \( f_u(u,v) \) und \( f_v(u,v), \) und stellen Sie die Funktionalmatrix \( \partial f(u,v)\in\mathbb R^{3\times 2} \) auf.
(iii) Ermitteln Sie die Tangentialebene der Fläche im Punkt \( (u,v)=(0,0). \)
(iv) Handelt es sich in diesem Punkt um eine reguläre Parametrisierung? Begründen Sie.

 

Lösung

 

(i) Bild hier
(ii) Wir berechnen

\[ f_u(u,v)=(1,0,3u^2-3v^2),\quad f_v(u,v)=(0,1,-6uv) \]

  und damit

\[ \partial f(u,v) =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 3u^2-3v^2 & -6uv \end{pmatrix}. \]

(iii) Die Tangentialvektoren im Punkt \( (0,0) \) lauten

\[ f_u(0,0)=(1,0,0),\quad f_v(0,0)=(0,1,0), \]

  und damit ergibt sich für die Tangentialebene in diesem Punkt

\[ T_f(0,0)=\mbox{Lin}\,\{(1,0,0),(0,1,0)\}\,. \]

(iv) Es ist

\[ \mbox{Rang}\,\partial f(u,v)=2\quad\mbox{für alle}\ (u,v)\in\mathbb R^2\,, \]

  d.h. die Parametrisierung ist in diesem Punkt und sogar in ganz \( \mathbb R^2 \) regulär.

 

Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)

 

 

Aufgabe 12.2.6: (Das Katenoid)

Betrachten Sie die durch \[ x(u,v):=\cos u\cosh v,\quad y(u,v):=\sin u\cosh v,\quad z(u,v):=v \] gegebene, stetig differenzierbare Flächenparametrisierung \[ f(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),\quad(u,v)\in\mathbb R^2\,. \]

(i) Skizzieren Sie das Bild dieser Parametrisierung.
(ii) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen \( f_u(u,v) \) und \( f_v(u,v), \) und stellen Sie die Funktionalmatrix \( \partial f(u,v)\in\mathbb R^{3\times 2} \) auf.
(iii) Ermitteln Sie die Tangentialebene der Fläche im Punkt \( (u,v)=(0,0). \)
(iv) Handelt es sich in diesem Punkt um eine reguläre Parametrisierung? Begründen Sie.

 

Lösung

 

(i) Bild hier
(ii) Wir berechnen

\[ \begin{array}{lll} f_u(u,v) \negthickspace & = & \negthickspace (-\sin u\cosh v,\cos u\cosh v,0), \\ f_v(u,v)\negthickspace &= & (\cos u\sinh v,\sin u\sinh v,1) \end{array} \]

  und damit

\[ \partial f(u,v) =\begin{pmatrix} -\sin u\cosh v & \cos u\sinh v \\ \cos u\cosh v & \sin u\sinh v \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

(iii) Die Tangentialvektoren im Punkt \( (0,0) \) lauten

\[ f_u(0,0)=(0,1,0),\quad f_v(0,0)=(0,0,1), \]

  und damit ergibt sich für die Tangentialebene in diesem Punkt

\[ T_f(0,0)=\mbox{Lin}\,\{(0,1,0),(0,0,1)\}\,. \]

(iv) Es ist

\[ \mbox{Rang}\,\partial f(u,v)=2\quad\mbox{für alle}\ (u,v)\in\mathbb R^2\,, \]

  d.h. die Parametrisierung ist in diesem Punkt und sogar in ganz \( \mathbb R^2 \) regulär.

 

Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)

 

 

Aufgabe 12.2.7: (Ein holomorpher Graph)

Es sei \( w=u+iv\in\mathbb C \) mit \( u,v\in\mathbb R. \) Betrachten Sie die stetig differenzierbare Flächenparametrisierung \[ f(u,v):=(\mbox{Re}\,w,\mbox{Im}\,w,\mbox{Re}\,w^2,\mbox{Im}\,w^2),\quad w\in\mathbb C. \]

(i) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen \( f_u(u,v) \) und \( f_v(u,v), \) und stellen Sie die Funktionalmatrix \( \partial f(u,v)\in\mathbb R^{3\times 2} \) auf.
(ii) Ermitteln Sie die Tangentialebene der Fläche im Punkt \( (u,v)=(0,0). \)
(iii) Handelt es sich in diesem Punkt um eine reguläre Parametrisierung? Begründen Sie.

 

Lösung

 

Zunächst formen wir wie folgt um \[ f(u,v)=(u,v,u^2-v^2,2uv),\quad(u,v)\in\mathbb R^2\,. \]

(i) Wir berechnen

\[ f_u(u,v)=(1,0,2u,2v),\quad f_v(u,v)=(0,1,-2v,2u) \]

  und damit

\[ \partial f(u,v) =\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 2u & -2v \\ 2v & 2u \end{array} \right). \]

(ii) Die Tangentialvektoren im Punkt \( (0,0) \) lauten

\[ f_u(0,0)=(1,0,0,0),\quad f_v(0,0)=(0,1,0,0), \]

  und damit ergibt sich für die Tangentialebene in diesem Punkt

\[ T_f(0,0) =\mbox{Lin}\,\{(1,0,0,0),(0,1,0,0)\}\,. \]

(iii) Es ist

\[ \mbox{Rang}\,\partial f(u,v)=2\quad\mbox{für alle}\ (u,v)\in\mathbb R^2\,, \]

  d.h. die Parametrisierung ist in diesem Punkt und sogar in ganz \( \mathbb R^2 \) regulär.

 

Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)

 

 

Aufgabe 12.2.8: (Komplexifizierung der Neilschen Parabel)

Es sei \( w=u+iv\in\mathbb C \) mit \( u,v\in\mathbb R. \) Betrachten Sie die stetig differenzierbare Flächenparametrisierung \[ f(u,v):=(\mbox{Re}\,w^2,\mbox{Im}\,w^2,\mbox{Re}\,w^3,\mbox{Im}\,w^3),\quad w=u+iv, \] auf der offenen Einheitskreisscheibe \( B:=\{(u,v)\in\mathbb R^2\,:\,u^2+v^2\lt 1\}. \)

(i) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen \( f_u(u,v) \) und \( f_v(u,v), \) und stellen Sie die Funktionalmatrix \( \partial f(u,v)\in\mathbb R^{4\times 2} \) auf.
(ii) Was können Sie über die beiden Tangentialvektoren und die Tangentialebene der Fläche im Punkt \( (u,v)=(0,0) \) aussagen?
(iii) Handelt es sich in diesem Punkt um eine reguläre Parametrisierung? Begründen Sie.

 

Lösung

 

Zunächst formen wir wie folgt um \[ f(u,v)=(u^2-v^2,2uv,u^3-3uv^2,3u^2v-v^3),\quad(u,v)\in B. \]

(i) Wir berechnen

\[ \begin{array}{ccc} f_u(u,v)\negthickspace & = & \negthickspace (2u,2v,3u^2-3v^2,6uv), \\ f_v(u,v)\negthickspace & = & \negthickspace (-2v,2u,-6uv,3u^2-3v^2) \end{array} \]

  und damit

\[ \partial f(u,v) =\left( \begin{array}{cc} 2u & -2v \\ 2v & 2u \\ 3u^2-3v^2 & -6uv \\ 6uv & 3u^2-3v^2 \end{array} \right). \]

(ii) Im Punkt \( (0,0) \) ergibt sich daher

\[ f_u(0,0)=(0,0,0,0),\quad f_v(0,0)=(0,0,0,0), \]

  d.h. die beiden Tangentialvektoren degenieren zu einem Punkt. Es gibt keine zweidimensionale Tangentialebene in \( (0,0). \)
(iii) In \( (0,0) \) ist die Parametrisierung nicht regulär, denn es ist

\[ \mbox{Rang}\,\partial f(0,0) =\mbox{Rang}\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)=0\not=2. \] Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)

 

 

Aufgaben - Darstellungsformen für Flächen

 

Aufgabe 12.2.9: (Die Minimalfläche von Enneper)

Betrachten Sie die durch \[ x(u,v):=u-\frac{1}{3}\,u^3+uv^2\,,\quad y(u,v):=-v-u^2v+\frac{1}{3}\,v^3\,,\quad z(u,v):=u^2-v^2 \] gegebene, stetig differenzierbare Flächenparametrisierung \[ f(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),\quad(u,v)\in\mathbb R^2\,. \]

(i) Skizzieren Sie das Bild dieser Parametrisierung.
(ii) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen \( f_u(u,v) \) und \( f_v(u,v), \) und stellen Sie die Funktionalmatrix \( \partial f(u,v)\in\mathbb R^{3\times 2} \) auf.
(iii) Ermitteln Sie die Tangentialebene der Fläche im Punkt \( (u,v)=(0,0). \)
(iv) Handelt es sich in diesem Punkt um eine reguläre Parametrisierung? Begründen Sie.

Bemerkung: Hierbei handelt es sich um eine algebraische Fläche \( 9. \) Ordnung, nämlich \[ \begin{array}{lll} 0\negthickspace & = & \negthickspace -64z^9+432x^2z^6-432y^2z^6+1215x^4z^3+6318x^2y^2z^3+3888x^2z^5 \\ & & \negthickspace +1215y^4z^3+3888y^2z^5+1152z^7+729x^6-2187x^4y^2+4374x^4z^2 \\ & & \negthickspace +2187x^2y^4+6480x^2z^4-729y^6-4374y^4z^2-6480y^2z^4-729x^4z \\ & & \negthickspace +1458x^2y^2z-3888x^2z^3-729y^4z-3888y^2z^3-5184z^5\,, \end{array} \] entnommen aus E. Gühler: Family of Enneper minimal surfaces. Mathematics 6, 281, 2018.

 

Lösung

 

(i) Bild hier
(ii) Wir berechnen

\[ \begin{array}{lll} f_u(u,v)\negthickspace & = & \negthickspace (1-u^2+v^2,-2uv,2u),\quad f_v(u,v)\negthickspace & = & \negthickspace (2uv,-1-u^2+v^2,-2v) \end{array} \]

  und damit

\[ \partial f(u,v) =\begin{pmatrix} 1-u^2+v^2 & 2uv \\ -2uv & -1-u^2+v^2 \\ 2u & -2v \end{pmatrix}. \]

(iii) Die Tangentialvektoren im Punkt \( (0,0) \) lauten

\[ f_u(0,0)=(1,0,0),\quad f_v(0,0)=(0,-1,0), \]

  und damit ergibt sich für die Tangentialebene in diesem Punkt

\[ T_f(0,0)=\mbox{Lin}\,\{(1,0,0),(0,-1,0)\}\,. \]

(iv) Man prüft die lineare Unabhängigkeit der zwei Tangentialvektoren nach für die folgenden drei Fälle: \( u=0, \) \( v=0 \) und \( u,v\not=0. \) Im letzteren Fall geht man von der Annahme \( \lambda f_u=f_v \) aus, wobei sich das \( \lambda\in\mathbb R \) sofort aus der dritten Zeile der Jacobimatrix ergibt und zu einem Widerspruch führt. Es ist also

\[ \mbox{Rang}\,\partial f(u,v)=2\quad\mbox{für alle}\ (u,v)\in\mathbb R^2\,, \]

  d.h. die Parametrisierung ist in ganz \( \mathbb R^2 \) regulär.

 

Damit ist alles gezeigt.\( \qquad\Box \)

 


 

 

 

12.2.6 Wiederholungsfragen

 

1. Was verstehen wir unter einer stetigen Flächenparametrisierung?
2. Geben Sie eine Flächenparametrisierung des zweidimensionalen Rotationsparaboloids an.
3. Wann heißt eine mehrdimensionale Funktion bzw. Abbildung \( f\colon\Omega\subseteq\mathbb R^m\to\mathbb R^n \) bez. der \( j \)-ten Koordinatenrichtung partiell differenzierbar?
4. Wie ist die partielle Ableitung einer solchen Funktion definiert?
5. Wann heißt eine solche Funktion partiell differenzierbar?
6. Wie ist die Funktionalmatrix bzw. Jacobimatrix einer solchen Funktion definiert?
7. Was versteht man unter einer regulären Flächenparametrisierung?
8. Was sind Tangentialvektoren und damit auch Einheitstangentialvektoren definiert?
9. Was ist der Tangentialraum?
10. Wie lässt sich die Regularität aus Punkt 7 geometrisch deuten?
11. Welche geometrische Bedeutung besitzen die Spalten der Funktionalmatrix?
12. Welche Darstellungsformen für Flächen kennen Sie?