Wiederholungsfragen

 

Kapitel 1: Grundlagen

 

1.1 Mathematische Logik

 

1. Was verstehen wir unter einer Aussage?
2. Was verstehen wir unter einer Aussageform?
3. Wie sind die Junktoren \( \neg, \) \( \vee, \) \( \wedge, \) \( \to, \) \( \leftrightarrow \) definiert?
4. Wie sind der Allquantor \( \forall \) und der Existenzquantor \( \exists \) definiert?
5. Wie werden der Allquantor und der Existenzquantor negiert?

 

1.2 Mengenlehre

 

1. Durch welche zwei Darstellungen kann eine Menge Menge \( M \) charakterisiert werden?
2. Wie sind die Relationen \( A=B, \) \( A\subseteq B, \) \( A\subset B \) definiert?
3. Wie sind die Operationen \( A\cup B, \) \( A\cap B, \) \( A\setminus B \) definiert?
4. Was versteht man unter dem kartesischen Produkt \( A\times B \) zweier Mengen \( A \) und \( B? \)
5. Was heißt eine Abbildung \( f\colon A\to B \) surjektiv?
6. Was heißt eine Abbildung \( f\colon A\to B \) injektiv?
7. Was heißt eine Abbildung \( f\colon A\to B \) bijektiv?
8. Was verstehen wir unter der Umkehrabbildung bzw. inversen Abbildung?
9. Was heißt eine Menge \( A \) endlich?

 

Kapitel 2: Elementare Zahlenbereiche

 

2.1 Die natürlichen Zahlen

 

1. Auf welchem Axiomensystem beruht das System der natürlichen Zahlen?
2. Wie lautet das Induktionsaxiom (P5)?
3. Wie lautet das Kommutativgesetz der Addition?
4. Wie lautet das Assoziativgesetz der Addition?
5. Wie lautet die Kürzungsregel der Addition?
6. Wie lautet das Kommutativgesetz der Multiplikation?
7. Wie lautet das Assoziativgesetz der Multiplikation?
8. Wie lautet die Kürzungsregel der Multiplikation?
9. Wie lautet das Distributivgesetz?
10. Wie lautet das Prinzip der vollständigen Induktion?
11. Formulieren und beweisen Sie die Gaußsche Summenformel.
12. Wie sind die Relationen \( \lt \) und \( \le \) auf \( \mathbb N_0 \) definiert?

 

2.2 Die ganzen Zahlen

 

1. Wann heißt eine zweistellige Relation reflexiv, symmetrisch, transitiv?
2. Was versteht man unter einer Äquivalenzrelation?
3. Was versteht man unter einer Äquivalenzklasse?
4. Wie ist die Äquivalenzrelation \( \sim_{\mathbb Z} \) auf \( \mathbb N_0 \) definiert?
5. Wie haben wir die Menge \( \mathbb Z \) der ganzen Zahlen definiert?
6. Wie sind Addition und Multiplikation in \( \mathbb Z \) definiert?

 

2.3 Die rationalen Zahlen

 

1. Wie ist die Äquivalenzrelation \( \sim_{\mathbb Q} \) auf \( \mathbb Z\times\mathbb Z\setminus\{0\} \) definiert?
2. Wie haben wir die Menge \( \mathbb Q \) der rationalen Zahlen definiert?
3. Wie sind Addition und Multiplikation in \( \mathbb Q \) definiert?
4. Wie lauten die Bruchrechenregeln?
5. Wann heißt eine Menge abzählbar unendlich?
6. Wann heißt eine Menge überabzählbar?
7. Ist die Mengen \( \mathbb N_0 \) abzählbar unendlich? Begründen Sie.
8. Ist die Mengen \( \mathbb Z \) abzählbar unendlich? Begründen Sie mit Hilfe eines geometrischen Schemas.
9. Begründen Sie die Abzählbarkeit von \( \mathbb Q \) mit Hilfe des ersten Cantorschen Diagonalverfahrens. Erläutern Sie mit eigenen Worten.

 

Kapitel 3: Reelle und komplexe Zahlen

 

3.1 Einführung der reellen Zahlen

 

1. Beweisen Sie, dass kein \( x\in\mathbb Q \) existiert mit \( x^2=2. \)
2. Welchen Ansatz verfolgen wir zur Approximation von \( \sqrt{2}? \)
3. Was versteht man unter einer rationalen Zahlenfolge?
4. Wie lautet die geometrische Summenformel?
5. Leiten Sie die geometrische Summenformel her.
6. Was versteht man unter einer rationalen Cauchyfolge?
7. Was versteht man unter einer rationalen Nullfolge?
8. Wie ist die Äquivalenzrelation \( \sim_{\mathbb R} \) definiert?
9. Wie haben wir die Menge \( \mathbb R \) der reellen Zahlen definiert?
10. Wie haben wir die rationalen Zahlen in die reellen Zahlen eingebettet?